§ 11. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА

При наличии проводников потенциал электрического поля системы зарядов можно представить так:

Это выражение явным образом учитывает заряды на всей поверхности проводников элемент поверхностного заряда). Формула (11.1) вытекает также из общего решения (8.1), если плотность заряда в проводнике записать в виде где — координата по нормали к поверхности, которая пересекает ось в точке

Однако о в (11.1) обычо не задана как в (8.1), а сама зависит от поля. Поэтому (11.1) не является решением уравнения Пуассона в обычном смысле, а представляет собой так называемое интегральное уравнение (неизвестное поле входит под знак определенного интеграла через

Чтобы избежать этих осложнений, можно в уравнении Пуассона учитывать только плотность зарядов вне проводников, а вместо задать потенциалы на них. Иными словами, мы должны решать уравнение Пуассона при дополнительных граничных условиях:

Простейшим является случай полного отсутствия внешних зарядов когда нужно решать уравнение Лапласа:

с граничными условиями (11.2).

Задача 1. Найти поле между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов П) разность потенциалов между которыми равна V.

В цилиндрических координатах с учетом аксиальной симметрии уравнение Лапласа — имеет решение Выбирая нулевой потенциал на наружном цилиндре, найдем По теореме Гаусса, заряд на внутреннем цилиндре (на единицу длины) Заряд на внутренней поверхности внешнего цилиндра равен

Если потенциалы на проводниках не заданы (так называемый проводник с «плавающим» потенциалом), но, конечно, по-прежнему постоянны, то неизвестные константы в граничных условиях находятся из дополнительных требований:

где — заданные заряды на проводниках.

Рис. 1.9. Металлический шар в однородном электрическом поле.

Задача 2. Найти потенциалы Двух концентрических сфер радиусов с зарядами

Решая уравнения Лапласа в сферических координатах найдем

Рассмотрим возмущение однородного поля незаряженным металлическим шаром (рис. 1.9). Это типичная задача на уравнение Лапласа, которое нужно решать с граничным условием

Как же решить это уравнение? Попробуем применить довольно общий метод, называемый разделением переменных. Из соображений симметрии будем решать задачу в сферических координатах. Говорят, что переменные разделяются, если решение можно представить в виде

Если выбрать полярную ось вдоль вектора однородного поля, то потенциал не будет зависеть от Ф, т. е. можно положить Подставив (11.7) в уравнение Лапласа и поделив на найдем

где штрих означает дифференцирование по своему аргументу. Так как обе части (11.8) — функции разных аргументов, они могут быть равны друг другу, только если они константы, т. е. не зависят от своих аргументов.

При поле становится однородным, т. е. Отсюда находим угловую часть потенциала

Уравнение для радиальной части потенциала принимает вид: Попробуем искать его решение в виде Лэог. Получим: или т. е. решение для радиальной части выглядит так:

Существенно, что это полное решение, так как уравнение второго

порядка для допускает только две произвольные постоянные. Последние определяются из граничных условий на бесконечности и на поверхности шара (11.6):

Окончательно получаем

Полное поле оказывается суперпозицией внешнего однородного поля и чисто дипольного поля наведенных на шаре зарядов (дипольный момент равен

Успех метода разделения переменных для данной задачи связан с тем, что уравнение Лапласа распалось на сумму слагаемых, зависящих только от одной из координат, т. е. уравнение в частных производных распалось на два обыкновенных дифференциальных уравнения, причем их решения оказались совместимыми с граничными условиями. Подчеркнем, что возможность разделения переменных зависит от удачного выбора системы координат, который, в свою очередь, диктуется граничными условиями.

Задача 3. Исследовать устойчивость равновесия заряженной частицы в электрическом поле (теорема Ирншоу).

Вблизи положения равновесия, в которое мы поместим начало координат, потенциал можно приближенно представить в виде

где все производные берутся в точке равновесия. Для устойчивости (положительного) заряда необходимо, чтобы потенциальная энергия возрастала по любому направлению, т. е. Но это противоречит уравнению Лапласа Если нужно учесть следующие члены разложения Можно показать, что и в этом случае устойчивое равновесие невозможно.

Задача 4. Доказать однозначность решения уравнения Пуассона при заданных граничных условиях (11.2).

Предположим, что существуют два различных решения, и составим их разность Последняя удовлетворяет уравнению Лапласа и нулевым граничным условиям: т. е. в данном случае заряды отсутствуют во всем пространстве, а значит,

Задача 5. Найти поле внутри замкнутой непроводящей поверхности если заданы распределения потенциала и поля на этой поверхности, а также плотность заряда внутри нее.

Поскольку заданная поверхность не эквипотенциальна, поле внутри нее (и на самой поверхности) будет зависеть от внешних зарядов. Чтобы избавиться от этой зависимости, окружим эквипотенциальной поверхностью отстоящей от на бесконечно малое расстояние При условии неизменности потенциала на поле внутри нее не изменится (однозначность решения, см. предыдущую задачу). Действие внешних зарядов теперь заменено эквивалентным действием зарядов, наведенных на а также зарядов, которые нужно поместить дополнительно на чтобы сохранить граничные условия. Плотность заряда на представим в виде двух слагаемых: (и такая же по величине, но обратная по знаку плотность заряда на — обе поверхности образуют «конденсатор с переменным напряжением»)

и заданная нормальная составляющая внутреннего поля. Таким образом, искомое поле складывается из трех составляющих: объемного заряда поверхностного заряда и «поверхностного диполя» единичный вектор внутренней нормали). В результате получаем