Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 11. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСАПри наличии проводников потенциал электрического поля системы зарядов можно представить так:
Это выражение явным образом учитывает заряды на всей поверхности проводников Однако о в (11.1) обычо не задана как Чтобы избежать этих осложнений, можно в уравнении Пуассона учитывать только плотность зарядов вне проводников, а вместо
Простейшим является случай полного отсутствия внешних зарядов
с граничными условиями (11.2). Задача 1. Найти поле между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов П) В цилиндрических координатах с учетом аксиальной симметрии уравнение Лапласа — Если потенциалы на проводниках не заданы (так называемый проводник с «плавающим» потенциалом), но, конечно, по-прежнему постоянны, то неизвестные константы
где
Рис. 1.9. Металлический шар в однородном электрическом поле. Задача 2. Найти потенциалы Двух концентрических сфер радиусов Решая уравнения Лапласа в сферических координатах
Рассмотрим возмущение однородного поля незаряженным металлическим шаром (рис. 1.9). Это типичная задача на уравнение Лапласа, которое нужно решать с граничным условием
Как же решить это уравнение? Попробуем применить довольно общий метод, называемый разделением переменных. Из соображений симметрии будем решать задачу в сферических координатах. Говорят, что переменные разделяются, если решение можно представить в виде
Если выбрать полярную ось вдоль вектора
где штрих означает дифференцирование по своему аргументу. Так как обе части (11.8) — функции разных аргументов, они могут быть равны друг другу, только если они константы, т. е. не зависят от своих аргументов. При
Существенно, что это полное решение, так как уравнение второго порядка для
Окончательно получаем
Полное поле оказывается суперпозицией внешнего однородного поля Успех метода разделения переменных для данной задачи связан с тем, что уравнение Лапласа распалось на сумму слагаемых, зависящих только от одной из координат, т. е. уравнение в частных производных распалось на два обыкновенных дифференциальных уравнения, причем их решения оказались совместимыми с граничными условиями. Подчеркнем, что возможность разделения переменных зависит от удачного выбора системы координат, который, в свою очередь, диктуется граничными условиями. Задача 3. Исследовать устойчивость равновесия заряженной частицы в электрическом поле (теорема Ирншоу). Вблизи положения равновесия, в которое мы поместим начало координат, потенциал можно приближенно представить в виде
где все производные берутся в точке равновесия. Для устойчивости (положительного) заряда необходимо, чтобы потенциальная энергия возрастала по любому направлению, т. е. Задача 4. Доказать однозначность решения уравнения Пуассона при заданных граничных условиях (11.2). Предположим, что существуют два различных решения, и составим их разность Задача 5. Найти поле внутри замкнутой непроводящей поверхности Поскольку заданная поверхность не эквипотенциальна, поле внутри нее (и на самой поверхности) будет зависеть от внешних зарядов. Чтобы избавиться от этой зависимости, окружим
|
1 |
Оглавление
|