§ 21. ТОК В МЕТАЛЛАХ. ЗАКОН ОМА

Динамика движения заряженных частиц зависит от конкретных условий протекания тока. Важным частным примером является ток в металлах. Опыт показывает, что в данном случае плотность тока пропорциональна электрическому полю. Это означает, что на движущийся в металле электрон действует как бы сила трения, пропорциональная скорости электрона. Коэффициент пропорциональности между плотностью тока и полем называется проводимостью.

Трение вызвано взаимодействием электронов с ионами решетки. Если считать, что после столкновения средняя скорость электрона (сферически-симметричное рассеяние), то сила трения

где — частота столкновений, которая зависит от длины свободного пробега (от одного столкновения до другого) и от скорости электрона: Величины а значит, и можно приближенно считать постоянными. Отсюда и вытекает закон (21.1) с постоянной о. Здесь существенно, что см/с (см. § 20).

Установившаяся скорость движения электронов определяется из условия

Отсюда плотность тока и проводимость

Заметим, что о имеет в гауссовой системе размерность частоты. С помощью оценки (21.4) можно определить длину свободного пробега по экспериментальному значению . Для меди находим см.

Это примерно в 100 раз больше межатомного расстояния в решетке. Такой большой пробег не объясним с точки зрения классической механики, которая предсказывает величину порядка межатомных расстояний. По квантовой механике в идеальной решетке вообще нет трения. Рассеяние возникает только за счет нерегулярных искажений структуры решетки, главным образом вследствие тепловых колебаний атомов. Ясно, что и должны заметным образом зависеть от температуры.

Рассмотрим протекание постоянного тока по тонкому длинному проводнику. В этом случае можно считать, что плотность тока постоянна по сечению проводника. Следовательно, полный ток Пусть, далее, сечение проводника постоянно по его длине,

тогда так как полный ток не изменяется вдоль проводника. С другой стороны, полное напряжение (разность потенциалов) на концах проводника равно где — длина проводника. Подставляя полученные выражения в (21.1), найдем

Величина

называется сопротивлением проводника.

Закон пропорциональности тока и напряжения для металлических проводников был открыт экспериментально в 1826 г. немецким математиком и физиком Омом и носит его имя. Он ввел также понятие сопротивления и нашел его зависимость от параметров проводника (21.6). Интересно отметить, что Ом открыл свой закон, используя в качестве источника тока медно-висмутовую термопару с разностью температур 100 °С. Известные в то время гальванические элементы оказались, как обнаружил Ом, совершенно непригодными для таких опытов из-за неустойчивости их ЭДС и внутреннего сопротивления. Соотношение (21.1) носит название дифференциального закона Ома.

Единицей сопротивления в СИ является . В соответствии с этим единица проводимости в СИ есть 1 (Ом

Если сечение проводника изменяется достаточно медленно, так что в каждом сечении плотность тока однородна по сечению, то полное напряжение на проводнике

т. е. сопротивление такого проводника

Приведенное выражение справедливо и в общем случае произвольной проводящей среды, если под понимать сечение достаточно тонкой трубки тока. Под последней подразумевается область проводника, ограниченная линиями тока (см. § 6).

При протекании тока по сопротивлению электрические заряды проходят разность потенциалов При этом источник тока совершает работу переходящую в тепло из-за трения, механизм которого рассмотрен выше. Мощность, выделяющаяся на сопротивлении, равна (закон Джоуля — Ленца)

Задача. Пространство между бесконечно длинными коаксиальными идеально проводящими цилиндрами радиусов заполнено веществом с проводимостью а Найти распределение потенциала в пространстве между цилиндрами и сопротивление на единицу длины.

Уравнение непрерывности (20.4) совместно с законом Ома (21.1) дает

В цилиндрической системе координат (при условии аксиальной симметрии) имеем

или

Решение ищем в виде

Подставляя (21.11) в (21.10), находим и, удовлетворяя граничным условиям окончательно получим

Сопротивление на единицу длины найдем, вычислив полный ток:

Из уравнения (21.9) видно, что при задача о растекании тока по объемному проводнику сводится к уравнению Лапласа. Это обстоятельство иногда используется для моделирования электрических полей на так называемых электролитических ваннах.