§ 86. ВОЛНОВОДЫ

Волноводом называется замкнутая металлическая труба произвольной формы, которая служит для канализации электромагнитной энергии, обычно в диапазоне СВЧ. Дело в том, что передача электромагнитных волн по проводам становится совершенно непригож ной, когда длина волны сравнима с расстоянием между проводам». В этом случае провода работают просто как антенна, электромагнитная энергия излучается. Простейшее решение этой проблемы состоит в использовании металлической трубы. Электромагнитная волна не может пройти через достаточно толстую металлическую стенку (см. § 87). Однако она может отражаться на крутых поворотах трубы или в местах изменения ее размеров. Тем не менее удается сконструировать волноводы таким образом, чтобы обеспечить эффективную передачу электромагнитной волны. Волноводы появились сразу же после изобретения радиолокации как один из необходимых элементов радиолокационной станции.

Как мы увидим ниже, передача электромагнитной энергии по волноводу во многом напоминает распространение волны в среде с дисперсией.

В качестве простейшего примера рассмотрим прямой волновод прямоугольного сечения (рис. XII.2). Конфигурацию поля в волноводе можно найти, решив волновое уравнение для потенциалов с граничными условиями на стенках волновода, которые мы будем считать идеально проводящими. Для рассматриваемой задачи удобно использовать кулоновскую калибровку потенциалов . В отсутствие зарядов и токов волновое уравнение принимает вид (см. § 67)

Рис. XI 1.2. Волновод.

Граничные условия на стенках идеально-проводящего волновода можно выбрать в виде

где — тангенциальные составляющие поля и вектор-потенциала. Принимая, далее, что поле характеризуется определенной частотой со, получим уравнение

которое нужно решать совместно с уравнением и граничными условиями (86.2).

Электрическое и магнитное поля в волноводе взаимно ортогональны, так как они по-прежнему удовлетворяют уравнениям

откуда для вакуумных волноводов

Из уравнений (86.5) можно выразить поперечные компоненты поля через продольные:

где введено обозначение

Эти соотношения дают основание для классификации волн в волноводе — они указывают на существование двух классов волн:

Волны класса называются «магнитными» волнами (-волна или -волна, т. е. волна с поперечным электрическим полем — transverse electric wave), а волны класса — «электрическими» волнами (Е-волна или ТМ-волна). Электромагнитное поле в волноводе представляет собой одну из волн двух данных классов или их суперпозицию (Рэлей, 1897).

Рассмотрим конфигурацию -волны. Разлагая потенциал волны в двумерный ряд Фурье, получим 00

и аналогично для с коэффициентами

Используя граничное условие найдем Подставляя оставшуюся сумму в уравнение получим а также

Переобозначив коэффициенты, запишем окончательное решение в виде

Полное решение уравнения (86.3) ищем в виде

Подставляя это выражение в (86.3), получим

Волна с заданными номерами гармоник обозначается посредством и .

Соотношение (86.12) показывает, что слишком высокие гармоники, для которых не могут распространяться по волноводу. Действительно, в этом случае оказывается мнимым, что согласно (86.11) означает затухание волны. Последнее связано, конечно, не с потерями в стенках, которые мы приняли идеально проводящими, а с отражением волны на входе в волновод (волна «не лезет»). При заданных существует критическая длина волны при которой поле еще проходит по волноводу Она определяется из условия Максимальная соответствует волне .

Конфигурация полей для и -волн показана на рис. XII.3. Отметим, что типы или невозможны, так как для них не выполняются граничные условия на боковых стенках волновода.

Рис. XII.3. Структуры -волны (а) и -волны (б) в прямоугольном волноводе.

В случае Е-волн запишем выражение для одной из поперечных компонент, например в котором мы сразу учтем зависимость от

Здесь выбор нужных слагаемых из общего выражения вида (86.8) производится аналогично предыдущему случаю, т. е. из граничного условия и уравнения Для продольной компоненты А можем написать

Условие приводит к связи между коэффициентами

где определяется из (86.12).

В общем случае поле в волноводе представляет собой суперпозицию нескольких гармоник, или, как их называют, мод, удовлетворяющих условию . Соотношение амплитуд различных мод зависит главным образом от условий возбуждения волновода. Отметим, что поле в волноводе представляет собой комбинацию бегущей волны (вдоль волновода) и стоячих волн (поперек волновода).

Существование критической длины волны, ограничивающей применение волновода, вызвано тем, что рассмотренный волновод является односвязным, т. е. все его стенки имеют один и тот же потенциал. Как было подробно объяснено выше, при таких граничных условиях неизбежно возникает стоячая волна поперек волновода что и приводит к ограничению пропускания волновода: Однако возможны и другие конструкции, так называемые многосвязные волноводы, которые состоят из нескольких изолированных друг от друга проводников, находящихся при

разных потенциалах. Простейшим примером двухсвязного волновода является коаксиальный кабель. В таком кабеле возможно квазистационарное поле с произвольно большой длиной волны (включая статические поля), и никаких ограничений на длину волны здесь не возникает. Оба поля такого типа волны поперечны, и поэтому она называется -волной.

Из соотношений (86.6) видно, что поле в ТЕМ-волне существует, если только т. е. фазовая скорость такой волны равна скорости света: а критическая длина волны отсутствует: . В этом случае волновые уравнения для потенциалов сводятся к уравнению Лапласа по поперечным координатам (в произвольной калибровке):

т. е. картина поля в поперечном сечении волновода совпадает с картиной статического электромагнитного поля. Это, в свою очередь, подтверждает невозможность распространения ТЕМ-волн по односвязному волноводу: квазистатические поля должны охватывать проводники с зарядами или токами. С другой стороны, существование поля в многосвязном волноводе возможно не только за счет возбуждения стоячей волны в поперечном направлении, но и вследствие того, что полный заряд некоторых проводников волновода отличен от нуля. Иными словами, линии Н замкнуты вокруг (квази-стационарное поле) или Е (волновое поле). Поэтому в односвязном волноводе -волна обязательно содержит — «охват» вектора Е линиями Н происходит в плоскостях . В свою очередь, ТМ-волна обязательно содержит — «охват» вектора Е линиями Н происходит в плоскости Несмотря на кажущееся преимущество многосвяэных волноводов, их применение для очень коротких волн ограничено большими потерями из-за наличия дополнительного (внутреннего) проводника, на поверхности которого к тому же возникают, как правило, большие поля.

Распространение волны вдоль волновода можно рассматривать как некоторый одномерный процесс, характеризуемый волновым числом кг, которое связано с частотой волны соотношениями вида (86.7), (86.12). Последние можно рассматривать как закон дисперсии, описывающий свойства волновода как некоторой «среды».

Рассмотрим подробнее свойства такой среды на примере волновода в виде двух параллельных идеально проводящих плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии а. В таком волноводе возможны как чисто поперечные волны (ТЕМ-волны, Е перпендикулярно плоскостям), так и волны с продольными компонентами (-волны). Первые называются быстрыми волнами — они распространяются с предельной скоростью, так как, по существу, не отличаются от волн в свободном пространстве. Волны второго типа называются медленными, так как для них справедливо соотношение дисперсионного типа (86.12), а их групповая скорость оказывается меньше предельной. Закон дисперсии медленных волн в рассматриваемом случае отличается от (86.12) в двух отношениях: во-первых,

здесь нужно положить , во-вторых, учесть, что теперь волна может распространяться в двух направлениях, скажем, в плоскости . В результате получаем

где — проекция вектора на плоскость

Из (86.17) находим фазовую и групповую скорости волны:

Из этих выражений вытекает любопытное равенство

которое в точности соответствует релятивистской зависимости энергии частицы от ее скорости, причем роль массы «частицы» играет величина Такая аналогия объясняется тем, что исходный закон дисперсии (86.17) совпадает с соотношением между энергией, импульсом и массой релятивистской частицы. Эта аналогия не является формальной, поскольку согласно квантовой механике энергия фотона пропорциональна частоте поля, а его импульс — волновому вектору . Каков же физический смысл массы такого «тяжелого» фотона? Дело в том, что закон дисперсии (86.17) описывает распространение поля только в плоскости а координату х можно рассматривать как некоторую внутреннюю степень свободы «двумерного фотона». Энергия поперечных колебаний поля (стоячая волна по и есть «внутренняя» энергия тяжелого фотона, т. е. его масса.

Переписав закон дисперсии (86.17) в виде

где — эффективный «показатель преломления» волновода как среды с дисперсией, нетрудно видеть, что он в точности совпадает с законом дисперсии для плазмы (84.1). Из этого следует, в частности, что фотон в плазме также является «тяжелым», причем «масса» определяется энергией колебаний частиц в цлазме в поле волны.

Кинематика медленной волны в волноводе может быть получена из простых геометрических соображений (рис. Такая волна представляет собой суперпозицию двух «косых» волн, распространяющихся под углом а к стенкам волновода и испытывающих,

Рис. ХII.4. Кинематика медленной волны в волноводе: а — «косая» волна в волноводе; б - к определению фазовой скорости.

следовательно, многократные отражения. Наклон волны определяется отношением поперечной и продольной компонент волнового вектора: . Отсюда групповая скорость пакета вдоль волновода равна

в соответствии с (86.18). Фазовая скорость волны определяется движением фронта волны вдоль волновода и равна (см. (84.5)) , что также совпадает с (86.18). Встречное движение фронтов волн напоминает в этом случае ножницы. Здесь особенно наглядно видно, что фазовая скорость является чисто геометрическим понятием.

Дисперсия медленных волн вызывает искажения коротких импульсов при передаче их по односвязному волноводу. Для устранения искажений можно использовать быстрые волны в многосвязных волноводах (например, в кабеле). Однако для очень коротких длиз волн быстрые волны могут преобразовываться на неровностях волновода в медленные, что снова приводит к искажению импульса. Благодаря явлению полного внутреннего отражения волноводом может служить также диэлектрический стержень или пластина с Закон дисперсии в таком волноводе аналогичен (86.17), но с другими значениями «массы» зависящими теперь не только от размеров волновода, но и от диэлектрика. Однако, в отличие от металлического волновода, здесь нет критической частоты, так как поле существует и вне волновода. В частности, при и 0 поперечный размер волны неограниченно возрастает. Правда, в этом случае волновод фактически перестает канализировать волну, которая легко рассеивается и поглощается окружающими телами. Поэтому практически диэлектрический волновод можно использовать, по-прежнему, только в ограниченной области частот

Диэлектрические волноводы широко применяются в оптике в качестве световодов, например, для передачи света от сцинтилляционных кристаллов к фотоумножителям. Другим интересным применением световодов является так называемая волоконная оптика,

которая передает изображение по пучку стеклянных нитей, причем жаждая нить передает один элемент изображения. Обычно используются нити диаметром мкм, т. е. приблизительно в 40 раз больше длины волны света. При этом разрешающая способность волоконной оптики оказывается того же порядка, что и для фотопленки среднего качества

В настоящее время созданы волоконные линии связи протяженностью в десятки километров с огромной пропускной способностью (см. § 82).

Волноводными свойствами обладает не только ограниченная пластина диэлектрика, но и оптически более плотный слой сплошной среды. Таковы, например, некоторые слои в атмосфере, что используется для дальней радиосвязи на УКВ.

Оказывается, что даже в однородной среде возможно образование, при определенных условиях, диэлектрического волновода. Это объясняется зависимостью от напряженности поля. Существенно, что возрастает с ростом поля, так как при поляризации атома возвращающая сила падает по мере удаления электрона от ядра. Это означает, что внутри волны среда всегда оптически более плотная, т. е. автоматически образуется диэлектрический волновод. Практически, однако, это явление становится существенным только в очень сильных полях, когда изменение достаточно велико. Такие поля получаются в фокусе луча мощного лазера, где и наблюдались этот, а также и другие эффекты так называемой нелинейной оптики. Последний термин связан с тем, что при учете зависимости уравнения Максвелла в среде становятся нелинейными. Результаты исследований показали, что такая самоканализация интенсивной волны в среде оказывается неустойчивой: волновой пакет сжимается в очень малую область с огромными полями, которые вызывают в конце концов локальный электрический пробой и разрушение диэлектрика.