§ 29. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Закон Био — Савара имеет очень простой физический смысл с точки зрения теории относительности — он связан с преобразованием полей при переходе из одной системы отсчета в другую.

Законы преобразования проще всего получить из выражения для силы Лоренца:

найденного им как обобщение экспериментальных данных. В част» ности, магнитная составляющая этой силы совпадает с выражением (28.3). Действительно, для одной частицы, движущейся со скоростью у, имеем

Так как законы преобразования силы и скорости известны, а заряд частицы считается инвариантом, можно найтн формулы преобразований для Е и Н.

Прежде всего, можно проверить, что продольная составляющая силы является инвариантом:

так как Поперечная составляющая силы изменяется

обратно пропорционально полной энергии частицы утсг:

Здесь релятивистский фактор частицы, движущейся со скоростью собственное время частицы.

Рассмотрим случай, когда в одной системе отсчета частица покоится Тогда в другой системе скорость частицы совпадает со скоростью первой системы Так как магнитная сила не имеет продольной составляющей, то инвариант (29.2) дает

Поперечный инвариант приводит к соотношению

Обратное преобразование получается здесь, как обычно, заменой знака Исключая из двух соотношений (29.5), например имеем закон преобразования для магнитного поля:

Соотношения, аналогичные (29.5), (29.6), будут иметь место и для других поперечных компонент полей ввиду аксиальной симметрии относительно направления скорости

Остается найти соответствующий закон для продольной составляющей магнитного поля. Из формулы (29.6) видно, что трансформируется независимо от других составляющих полей, т. е. только через Значит, должно быть Из симметрии прямого и обратного преобразований следует, что Этот результат можно Ьывести и непосредственно из силы Лоренца, если рассмотреть частицу со скоростью Используя выражение для получим

Учтем теперь, что преобразуется независимо от и что, аналогично (29.3), Это дает

Окончательно формулы могут быть записаны в виде

Индекс означает проекцию векторов на плоскость В первом порядке по можно написать

Из законов преобразования поля следует, в частности, что если в какой-то системе отсчета имеется только электрическое поле то в любой другой системе

Обратим внимание на то, что закон преобразования симметричен (точнее, антисимметричен) относительно обоих полей, т. е. формулы сохраняют свой вид, если поменять поля местами, изменив знак у одного из них

Этот результат тем более примечателен, что он получен из явно несимметричного выражения для силы Лоренца.

Тот факт, что электрическое и магнитное поля преобразуются друг в друга при переходе из одной системы отсчета в другую, показывает, что оба они являются лишь различными составляющими единого электромагнитного поля. Ситуация здесь аналогична связи между пространством и временем или между энергией и импульсом. Однако в отличие от последних обе компоненты свободного электромагнитного поля равноправны. Существенное различие связано лишь с несимметрией зарядов: в природе наблюдается только электрический заряд и нет магнитного.

Из закона преобразования полей следует закон Био — Савара (28.4). Действительно, для одной частицы и (28.4) дает

Это в точности соответствует преобразованию кулоновского поля покоящегося заряда при

Таким образом, по теории относительности законы Кулона, Ампера и Лоренца (сила Лоренца) не являются полностью независимыми, а связаны друг с другом преобразованиями полей. Поэтому два из них, например закон Кулона и сила Лоренца, как более простые, могут быть положены в основу всех электромагнитных явлений.

Более того, теория относительности показывает, что закон Ампера справедлив только в случае малых скоростей движущихся зарядов. И это нисколько не противоречит опытам Ампера, поскольку в обычных проводниках скорость движения электронов действительно ничтожно мала (см. § 20). Как мы знаем теперь из экспериментов с быстрыми частицами, их магнитное поле не удовлетворяет закону Био — Савара, а определяется точными формулами теории относительности (29.7). Оказывается, однако, что в случае постоянного тока закон Био — Савара справедлив при любых скоростях заряженных частиц. Нарушение закона Био — Савара для отдельных частиц связано с запаздыванием поля вследствие конечной скорости его распространения. Для стационарного поля запаздывание, естественно, не играет роли.

Рассмотрим, например, магнитное поле прямолинейного однородного тонкого и бесконечно длинного пучка релятивистских

электронов. В собственной системе отсчета такой пучок создает чисто электрическое поле

где — линейная плотность электронов в этой системе, связанная с плотностью в лабораторной системе соотношением (см. § 20)

Формулы преобразования (29.7) дают

в Полном соответствии с выражением (28.5), полученным из закона Био — Савара.

Аналогично, из выражения (29.11) и законов преобразования (29.7), (29.12) следует, что электрическое поле пучка

т. е. определяется только плотностью заряда и не зависит от скорости частиц.