§ 16. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Уравнение поля в диэлектрике (15.6) решается при определенных граничных условиях. Обычно эти условия задаются на бесконечности и на границе с проводниками. В тех случаях, когда среда состоит из нескольких диэлектриков, уравнение (15.6) можно решать отдельно в каждом из них, а затем сшивать решения на границах между ними. Для этого нужны граничные условия, т. е. связь между полями в соседних диэлектриках.

Прежде всего должно выполняться условие непрерывности потенциала, так как в противном случае возникали бы бесконечно большие поля. Отсюда непосредственно следует равенство тангенциальных составляющих электрического поля:

Нормальная составляющая вектора Е терпит разрыв, так как на границе двух диэлектриков образуется связанный поверхностный заряд. Если на этой поверхности нет свободного заряда, то непрерывна нормальная составляющая вектора Это условие легко получается из закона сохранения потока (15.9) или из уравнения поля (15.6):

Задача 1. Найти скачок нормальной составляющей Е на границе двух сред.

Записав (16.2) в виде находим Отсюда можно определить также поверхностную плотность связанного заряда: Она складывается из двух частей разного знака, отдельно на каждом из диэлектриков:

Как измерить векторы в среде? Для этого можно сделать в ней небольшую полость и измерить поле внутри нее. Если полость сильно вытянута вдоль поля, то находится вектор Е в среде (16.1). Если же полость вытянута перпендикулярно полю, то определяется вектор D (16.2). Заметим, что такая процедура годится лишь для изотропного диэлектрика.

Метод описания среды с помощью диэлектрической проницаемости можно распространить и на среду с макроскопическими неоднородностями. Рассмотрим, например, «газ» металлических шариков радиуса с плотностью в единице объема. Пусть нас интересует лишь среднее поле (в объемах, содержащих много шариков). Тогда вместо решения сгчепь сложной задачи с граничнымй условиями на каждом из шариков можно ввести эффективную диэлектрическую проницаемость такой «среды». Для этого достаточно найти дипольный момент одного шарика. Если т. е. «газ» разреженный, можно пренебречь в первом приближении взаимным влиянием шариков и рассматривать поляризацию каждого из них во внешнем однородном поле (см. § 11). Имеем и момент единицы объема где Е — поле вдали от шариков. Возникает вопрос: что это за поле с точки зрения нашей «среды»: или какое-то третье поле? Вообще говоря, это сложный вопрос (см. § 19), однако при его можно не выяснять, поскольку различие между Е и мало. В результате получаем

Рассмотрим подробнее более простой пример неоднородной среды, состоящей из слоев диэлектрика толщиной кг соответственно (рис. II.3). Эта среда является анизотропным диэлектриком, главные оси которого направлены вдоль и перпендикулярно слоям. Эффективную диэлектрическую проницаемость можно вычислять различными способами. Можно, например, найти среднее поле в среде: . В перпендикулярном направлении сохраняется Е, поэтому Мы видим что среда действительно анизотропна если

Найдем теперь через средний дипольный момент среды:

Задача 2. Найти поляризацию диэлектрического шара во внешнем однородном поле (рис. II.4).

Будем решать более общую задачу, когда шар 81 погружен в среду . В каждой из двух областей (вне и внутри шара) и поэтому , т. е. нужно решать уравнение Лапласа с граничными условиями (16.1), (16.2) на поверхности шара. Решение ищем методом разделения переменных, аналогично тому, как это было сделано в § И. Правда, поле внутри шара теперь не равно нулю. Однако, поскольку поле в центре должно быть конечным, для внутренней области из общего

Рис. II.3. Слоистый диэлектрик.

Рис. II.4. Поляризация диэлектрического шара. рис. 1.9.

решения (11.10) останется лишь первое слагаемое. Тогда имеем

Постоянные (поле внутри шара) и (дипольный момент шара в среде) находим из граничных условий:

откуда

При (проводник) решение переходит в (11.12); при поле в сферической полости равно Поле внутри шара ослабляется, если и наоборот.