§ 70. ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР. ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА

Рассмотрм плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся в произвольном направлении (необязательно вдоль оси z). Как описать такую волну?

Пусть направление распространения волны характеризуется единичным вектором Введем вектор

модуль которого равен волновому числу (69.2), а направление совпадает с направлением распространения волны. Вектор к называется волновым вектором. Фазу волны, распространяющейся вдоль оси можно записать теперь в виде

где — компонента вектора . Повернем теперь оси координат произвольным образом. Очевидно, что фаза волны не может зависеть от направления осей координат, т. е. она является инвариантом такого поворота. Это значит, что она должна зависеть только от инвариантного выражения, содержащего векторы и переходящего в (70.2) при Таким выражением является скалярное произведение . Отсюда получаем

и общее выражение для плоской монохроматической волны принимает вид (69.6)

С введением вектора к вместо одной пространственной частоты к возникают три: кг, которые характеризуют скорость изменения фазы волны по определенным направлениям. Модуль равен максимальной пространственной частоте вдоль направления распространения волны. В произвольном направлении, характеризуемом единичным вектором пространственная частота

где — координата вдоль

Посмотрим теперь, как изменяются частота и волновой вектор при переходе из одной системы отсчета в другую. Для этого координаты и время в (70.3) выразим через координаты и время другой системы отсчета, движущейся относительно исходной со скоростью V вдоль оси х. Получаем

Мы видим, что в новой системе отсчета волна остается плоской и монохроматической, но ее частота (множитель при и волновой вектор (множитель при ) изменяются:

Это и есть закон преобразования со, к при переходе из одной системы отсчета в другую. Из этих соотношений следует, что величины образуют 4-вектор

Результат, описываемый формулой (70.8), можно получить и из следующих физических соображений. Достаточно заметить, что фаза волны есть инвариант, т. е. не зависит от системы отсчета. Действительно, рассмотрим, например, волну Тоща инвариантность фазы означает просто, что в любой системе отсчета максимум волны соответствует Здесь, конечно, неявно предполагается, что в любой системе отсчета волна остается монохроматической, что является следствием линейности преобразований Лоренца (70.6). Заметим, что выше, при выводе (70.7) мы, в сущности, неявно уже использовали (быть может, незаметно для читателя) инвариантность фазы 0. Но если фаза (70.3) инвариантна, а величины образуют, как мы знаем, 4-вектор, то величина также должна быть 4-вектором, чтобы получилось инвариантное скалярное произведение

Изменение частоты волны при переходе из одной системы отсчета в другую называется эффектом Доплера. Этот эффект был предсказан впервые теоретически чешским физиком Доплером в

1842 г. и вскоре был экспериментально подтвержден для звуковых волн Бейс-Баллотом на голландской железной дороге. В этих опытах независимые наблюдатели оценивали высоту тона звуков, издаваемых музыкантами, размещенными на платформе поезда. Уже в 1867 г. эффект Доплера был обнаружен в оптических спектрах звезд.

Для звука эффект Доплера описывается нерелятивистской формулой

где — скорость звука в движущейся системе отсчета, а — угол между векторами . Отметим, что для звука существует выделенная система отсчета, связанная со средой, в которой распространяются звуковые волны. Поэтому движение источника звука по отношению к среде приводит к другим результатам, чем движение приемника. То же самое, кстати, относится и к электромагнитным волнам в среде (см. § 71).

Нерелятивистский эффект Доплера (70.9) допускает наглядное объяснение. Пусть, например, наблюдатель движется навстречу волне со скоростью V относительно среды. Используя обратное преобразование и учитывая, что в этом случае найдем

где — скорость звука, — частота звуковых колебаний в неподвижной системе, — частота колебаний, воспринимаемая движущимся наблюдателем. Увеличение частоты в этом случае объясняется просто тем, что движущийся навстречу волне наблюдатель «натыкается» на максимумы волны тем чаще, чем больше его скорость.

Для электромагнитной волны в вакууме эффект Доплера описывается первым из соотношений (70.7)

В нерелятивистском случае это выражение совпадает с (70.9) и имеет такой же наглядный физический смысл, как и для механических волн. В этом случае говорят о линейном эффекте Доплера, или об эффекте Доплера первого порядка Кроме того, имеется еще так называемый квадратичный эффект Доплера, связанный с множителем Природа его совершенно иная: он связан с релятивистским изменением масштаба времени в разных системах отсчета. В этом случае говорят также о поперечном эффекте Доплера. Такое название связано с тем, что при наблюдении электромагнитной волны перпендикулярно направлению движения излучателя линейный эффект Доплера обращается в нуль, и все изменение частоты волны связано с релятивистским эффектом.

Рис. IX.7. Наблюдение эффекта Доплера. а — источник излучает изотропно, а наблюдатель воспринимает свет, приходящий под углом 90° к направлению движения источника: ; б - источник излучает в своей системе в направлении, поперечном направлению движения, а наблюдатель воспринимает свет с

Задача. Найти частоту и угловое распределение излучения движущегося источника (рис. IX.7).

Квадратичный эффект Доплера соответствует наблюдению излучения под углом (рис. IX.7, а). Используя первое из преобразований (70.10.), найдем

т. е. свет «краснеет». В данном случае и есть частота излучателя в собственной системе, так что преобразование частоты (70.11) в точности эквивалентно преобразованию времени, например периода колебаний

На рис. IX.7, 6 показано излучение, перпендикулярное направлению движения в системе источника, и имеет место обратное соотношение т. е. свет «синеет». Это связано с линейным эффектом Доплера в системе наблюдателя, который нидит свет под углом а Найдем этот угол. Комбинируя первые два из выражений (70.7), получим

В частности, при имеем Подставляя это выражение в (70.7), получим прежний результат:

В ультра релятивистском случае половина всего излучения (излучение в переднюю полусферу в системе источника, сосредоточена в системе наблюдателя в узком конусе а в направлении движения излучателя (70.12). С другой стороны, в заднюю полусферу в системе наблюдателя излучается лишь незначительная часть энергии из узкого конуса в системе источника вокруг направления, противоположного направлению движения излучателя. Это непосредственно вытекает из обратного преобразования углов:

Эффект Доплера находит широкое применение как в научных исследованиях, так и в технике. Одним из таких применений

является измерение радиальной составляющей скорости движущегося объекта в радиолокации. Вместе с измерением перпендикулярной к лучу локатора составляющей скорости по изменению направления на объект и дальности это дает полную информацию о его движении. В частности, такой метод используется для контроля движения космических кораблей.

В астрономических наблюдениях (точнее, в радиоастрономии) эффект Доплера используется для измерения скорости вращения планет вокруг своей оси по разбросу частоты (уширение линии) отраженного от планеты радиосигнала. Таким образом был найден, например, период вращения Меркурия, который оказался равным 59 земным суткам. Интересно отметить, что отношение меркурианского года (88 земных суток) к его суткам очень близко к 3/2. Это дало повод для гипотезы о резонансе между орбитальным движением Меркурия и его собственным вращением.

Оказывается, что с помощью эффекта Доплера можно осуществлять и гораздо более тонкие исследования. Измеряя сдвиг частоты отраженного от планеты сигнала и его запаздывание, можно определить даже рельеф планеты. Вместе с интенсивностью отражения это дает возможность снять карту планеты.

Еще одно интересное применение эффекта Доплера — измерение радиальных скоростей звезд и галактик по смещению спектральных линий излучения элементов, входящих в состав звезды (главным образом, водорода и гелия). Такие измерения, проведенные еще в 30-х американским астрономом Хабблом, привели к поразительному результату. Он обнаружил, что помимо более или менее хаотического движения звезд и галактик, все они удаляются от Земли со скоростью, пропорциональной расстоянию (закон Хаббла). В настоящее время этот закон проверен как в оптическом, так и в радиодиапазоне до расстояния в 10 млрд. световых лет, где частоты излучения уменьшаются («красное смещение» линий спектра) более чем в четыре раза, что соответствует скорости разлета далеких галактик, составляющей около 90% от скорости света. На основании закона Хаббла возникла гипотеза, что вся наблюдаемая Вселенная образовалась около 10 млрд. лет назад в результате какого-то гигантского взрыва, и сейчас мы видим разлетающиеся от него осколки («расширяющаяся Вселенная»).

Обращаясь теперь к совершенно иной области явлений, упомянем о применении эффекта Доплера для измерения температуры электронов горячей плазмы. Измерение производится по разбросу частоты электромагнитной волны, рассеянной в плазме. Среднее смещение частоты можно использовать при этом для измерения скорости упорядоченного движения в плазме.