Глава VI. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

§ 45. ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Открытие Эрстеда и работы Ампера (см. § 28) показали, что существует глубокая связь между электрическими и магнитными явлениями. Однако эта связь представлялась вначале односторонней (электрический ток возбуждал магнитное поле), что всегда казалось странным одному из самых замечательных физиков мира — Фарадею. В течение 11 лет он совершенно сознательно искал обратное влияние магнитного поля на электрический ток и в 1831 г. открыл его в форме своего знаменитого закона электромагнитной индукции. Для возбуждения электрического тока в контуре необходимо изменять магнитный поток через этот контур, причем ЭДС индукции

Здесь Ф — магнитный поток, зависящий от величины полного поля в среде В.

Это явление природы сыграло забавную шутку с другим физиком — Колладоном, современником Фарадея. Желая провести свой опыт как можно чище, он поместил катушку с магнитом в одну комнату, а гальванометр, соединенный с катушкой, — в другую. Вставив магнит в катушку, он шел в другую комнату, чтобы посмотреть на показания гальванометра (!). Для великого открытия ему не хватило воображения или... лаборанта. Закон электромагнитной индукции был независимо открыт американским физиком Генри, однако он позднее опубликовал свои результаты.

Фарадей установил, что ЭДС индукции возбуждается при изменении потока в контуре любым способом. Можно, например, с равным успехом вдвигать магнит в катушку, создавая переменное магнитное поле, или же надевать катушку на магнит, т. е. перемещать контур в постоянном магнитном поле. Сегодня с точки зрения теории относительности это кажется очевидным. Возможен и более сложный случай, когда контур произвольно деформируется в переменном магнитном поле.

Рассмотрим механизм возбуждения ЭДС индукции. Пусть вначале магнитное поле постоянно, а контур деформируется. Возьмем простейший пример такого контура, изображенного на рис. VI.1, где в однородном магнитном поле движется один из проводников, образующих контур. Так как электроны движутся вместе с проводником со скоростью на них действует магнитная часть силы Лоренца направленная вдоль проводника. Она-то и создает т. е. является так называемой сторонней силой с точки зрения электрических цепей (см. § 24). Последнее выражение в точности совпадает с законом Фарадея (45.1), так как

Но если ЭДС индукции создается в данном случае силой как может она совершать работу, ведь эта сила всегда направлена перпендикулярно скорости заряда? Рассмотрим этот вопрос подробнее. Мощность ЭДС равна , т. е. пропорциональна силе тока в цепи. Но в таком случае на проводник действует сила направленная против скорости . Для простоты примем сопротивление цепи настолько большим, что можно пренебречь магнитным полем тока I по сравнению с внешним полем. Чтобы обеспечить движение проводника, необходимо приложить такую же внешнюю силу, которая будет развивать мощность в точности равную мощности в электрической цепи. Таким образом,

Рис. V1.1. Возбуждение ЭДС электромагнитной индукции в деформируемом контуре.

работу совершает внешняя сила, а магнитное поле, образно говоря, лишь «перекачивает» энергию из одной степени свободы в другую.

Задача. Показать, что закон Фарадея справедлив при произвольной деформации контура в постоянном магнитном поле.

Используя для ЭДС выражение (см. § 24) и подставляя в качестве сторонней силы силу Лоренца получим

так как — изменение площади контура при смещении участка проводника на

Рассмотрим теперь другой случай возбуждения ЭДС индукции, когда контур остается неподвижным, а магнитное поле изменяется во времени. В этом случае ЭДС может возникать лишь за счет дополнительного электрического поля, связанного с переменным магнитным полем. По закону Фарадея

где — площадь, охватываемая контуром. Мы написали здесь частную производную, которая характеризует изменение магнитного ноля в заданной точке пространства.

Используем теперь теорему Стокса (33.2).

Последнее равенство справедливо в силу закона Фарадея для любого контура и любого поля, поэтому

В общем случае движения контура в переменном магнитном поле действуют оба рассмотренных выше механизма, так что ЭДС индукции определяется полным изменением потока через контур согласно (45.1).

Отметим, что оба механизма возбуждения ЭДС индукции не являются по теории относительности независимыми. Пусть, например, контур движется с постоянной скоростью в неоднородном стационарном магнитном поле. В этом случае «работает» первый механизм, т. е. магнитная часть силы Лоренца. Однако в системе отсчета, связанной с контуром, сила равна нулю, и работает второй механизм, т. е. появляется вихревое электрическое поле, вызванное изменением магнитного поля в этой системе отсчета.

Рис. VI.2. Схема униполярного генератора.

Рис. VI.3. Разделение с помощью ферритового экрана (1) переменного магнитного поля катушки (2) и вихревого электрического поля (3).

Понятие «полное изменение потока через контур» не всегда очевидно, а его применение требует известной «бдительности». В сложных случаях нужно анализировать конкретный механизм возбуждения ЭДС. Рассмотрим, например, так называемый униполярный генератор, схема которого изображена на рис. VI.2. Его существенной частью является массивный диск, вращающийся в магнитном поле, направленном параллельно оси вращения. Здесь трудно найти какое-либо изменение потока через контур. Тем не менее ЭДС возникает за счет силы, действующей в радиальном направлении на электроны, увлекаемые вращающимся диском:

В рассматриваемом случае закон Фарадея не выполняется буквально, так как он применим лишь к непрерывному контуру. Здесь же скользящий контакт все время производит как бы переключения с одного контура на другой.

Другое распространенное наглядное представление о механизме возбуждения ЭДС индукции — пересечение проводником магнитных силовых линий. Это представление также условно и не всегда позволяет объяснить физическую ситуацию. Так, в предыдущем примере еще можно говорить с некоторой натяжкой о пересечении проводником силовых линий. Бывают, однако, случаи, когда такое представление и совсем неприменимо. Простейшим примером может служить неподвижный заряд в переменном магнитном поле. Такой заряд вообще ничего не пересекает, но, тем не менее, на него действует вихревое электрическое поле. Более интересным примером является тороидальный магнитный экран 1 (рис. VI.3) (из феррита), практически не пропускающий внутрь себя магнитное поле катушки 2, но не ослабляющий вихревое электрическое поле 3. В такой системе силовые линии не проходят через внутреннюю полость экрана, а как бы перескакивают с его внутренней стороны на внешнюю, оставаясь, однако, непрерывными. Этот пример особенно наглядно показывает, что силовые линии имеют, вообще говоря, лишь геометрический, но не физический смысл. Они

наглядно представляют конфигурацию магнитного поля, но не являются самостоятельной физической реальностью.

Уравнение (45.4) определяет дополнительное вихревое поле, создаваемое переменным магнитным полем. В отличие от электростатического вихревое поле непотенциально, так как . Поскольку оно создается не зарядами, а магнитным полем, то для него , т. е. его силовые линии замкнуты. Если система обладает какой-либо симметрией (например, аксиальной), то закон Фарадея (45.3) позволяет определить полную конфигурацию вихревого электрического поля (ср. § 33).

Вихревое электрическое поле можно выразить непосредственно через векторный потенциал, используя соотношение Подставляя его в (45.4) и меняя в правой части порядок дифференцирования по координатам и времени, получим откуда

где — произвольная функция, ротор которой равен нулю. Естественно отождествить ее с электростатическим полем Таким образом, мы получаем выражение для полного электрического поля:

Теперь мы можем подвергнуть оба потенциала калибровочному преобразованию, не изменяющему напряженности полей В, Е (см. § 31):

Уравнение (45.4) дополняет уравнение для магнитного поля и показывает, что свободное электромагнитное поле (т. е. поле в вакууме и без токов) антисимметрично относительно замены . Исторически закон Фарадея (45.4) был открыт значительно раньше (1831 г.), чем Максвелл «изобрел» свой ток смещения (1864г.), чтобы симметризовать уравнения поля (уравнения Максвелла), которые в окончательном виде выглядят следующим образом:

Вместе с уравнениями движения частиц, образующих электрический ток, уравнения Максвелла полностью определяют все электромагнитные процессы.