§ 85. РАСПЛЫВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА

Групповая скорость волны сама, вообще говоря, зависит от частоты (см., например, (84.14)). Это приводит к искажению формы волнового пакета, которое можно оценить следующим образом. Пусть ширина спектра волны Тогда разброс групповой скорости откуда искажение размера пакета

Искажение можно считать малым в течение времени , где

Для количественного расчета величины искажения пакета необходимо учесть третий член в разложении (84.12). Проделаем это примере расплывания поля гауссовой формы

Пусть закон дисперсии имеет вид

Такая дисперсия означает, что для как групповая, так и фазовая скорости равны нулю, т. е. мы как бы перешли в сопровождающую систему для очень длинных волн. Производя фурье-преобразование начального возмущения и используя закон дисперсии, получим

Вычислим этот интеграл с помощью результата задачи 3, § 78:

Можно показать, что это соотношение остается справедливым и для комплексных если только (условие сходимости интеграла). Используя (85.6) для вычисления получим

Тогда в (85.5) вновь возникает гауссова функция с комплексным

Поэтому можем снова обратиться к (85.6):

Проанализируем полученное выражение. Прежде веего видно, что волновой пакет как целое не смещается. Это связано с выбором специальной системы отсчета или специального закона дисперсии (85.4). Далее оказывается, что пакет расплывается, причем его среднеквадратичный размер описывается выражением

Соответственно амплитуда волны

уменьшается таким образом, что полная энергия волны остается постоянной: . Фаза волны изменяется по закону

В каждый момент времени такая волна является частотно-модулированной в пространстве, т. е. длина волны изменяется вдоль 2. Появление такой частотной модуляции, на первый взгляд неожиданное, объясняется очень просто. В начальный момент времени различные гармонические составляющие пакета накладывались друг на друга, образуя гладкий гауссовский пакет (85.3). Затем, вследствие дисперсии групповой скорости, эти составляющие пространственно разделились, что и привело к частотной модуляции. Напомним, что комплексная форма соответствует циркулярно поляризованной волне (см. § 69), т. е. вращению вектора А в плоскости в соответствии со значением фазы Действительная часть описывает поведение проекции вектора А на плоскость (рис. XII, 1, б). Для линейно поляризованной волны аналогичное рассмотрение следует провести в действительной форме, что дает

Этот интеграл не выражается в элементарных функциях. Результат численного интегрирования качественно повторяет картину,

Рис. ХII.1. (см. скан) Расплывание волнового пакета: а — видеоимпульса (85.12); б - гауссовой формы (85.3).

представленную на рис. XII.1: гауссовский пакет, расплываясь, приобретает частотную модуляцию в пространстве.

Деформация во времени волнового пакета

в среде, закон дисперсии в которой имеет вид описывается выражением, которое получим, умножив

185.7) на Тогда

Картина деформации такого «видеоимпульса» (квазимонохромати-ческой волны с модуляцией по амплитуде) показана на рис. XII.1, б для случая

Волновое уравнение инвариантно относительно изменения знака времени. Это значит, что волновые процессы подобно механическим «обратимы», т. е. симметричны относительно прошлого и будущего. Например, любой обращенный во времени процесс может быть действительно осуществлен при соответствующих начальных условиях. Можно, скажем, сформировать волновой пакет, который будет сжиматься. Для этого, очевидно, нужно взять начальное возмущение в виде частотно-модулированной волны, например в виде

(85.7) с заменой знака t (или i, т. е. нужно взять комплексно-сопряженную волну). Интересно отметить, однако, что, в отличие от неограниченного расплывания пакета, его сжатие всегда конечно и определяется полной шириной спектра достижения минимального размера пакет начинает расплываться. При сжатии пакета амплитуда поля растет. Это явление используется для усиления радиосигналов.

Такое поведение пакета хорошо иллюстрирует простой пример из области спорта. При общем старте бегунов или лыжников группа непрерывно растягивается по дистанции («расплывание» пакета). Если же старт раздельный, а стартуют бегуны в очередности, обратной их скоростным возможностям («гонки с гандикапом»), то после старта последнего группа («пакет») будет сжиматься, пока быстрые не обойдут медленных, после чего «пакет» вновь начнет «расплываться».