§ 55. ПОТОК ЭНЕРГИИ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Электромагнитное поле обладает энергией, плотность которой

При перемещении поля возникает поток энергии. Примерами могут служить распространение электромагнитной волны или поле движущегося заряда.

Для количественного описания потока энергии в поле рассмотрим баланс энергии. Мощность, передаваемая в поле частицами (токами) Выразим теперь плотность тока через поля из уравнения добавим для симметрии слагаемое и используем векторное тождество . В результате получим

где — плотность энергии (55.1), а вектор

можно интерпретировать как плотность потока энергии через поверхность окружающую произвольный объем V. Эта величина была вычислена английским физиком Пойнтингом (вектор Пойнтинга).

Если передача энергии от частиц к полю отсутствует мы получаем закон сохранения энергии поля в интегральной форме. Преобразуя поверхностный интеграл в объемный, приходим к

дифференциальному закону сохранения энергии поля

похожему по форме на закон сохранения заряда (см. § 20). В частности, в стационарном поле т. е. линии вектора Пойнтинга замкнуты.

Рассмотрим простой пример потока энергии в электромагнитном поле — двухпроводную линию (рис. VI. 19). При отсутствии сопротивления как магнитное, так и электрическое поля перпендикулярны направлению тока и образуют вектор Пойнтинга вдоль линии. Если линия обладает сопротивлением, появляется продольная составляющая электрического поля, которая поворачивает вектор Пойнтинга таким образом, что часть потока энергии ответвляется внутрь проводника и нагревает его.

Обратим внимание на важную особенность вектора Пойнтинга — к нему неприменим обычный закон сложения векторов по правилу параллелограмма. Рассмотрим, например, суперпозицию двух полей одинаковых по величине, но отличающихся по направлению. Плотность потока энергии в каждом из них одна и та же Суммарное поле, согласно принципу суперпозиции, определяется величинами Поэтому, если суммарное поле и поток его энергии равны нулю, а не Этот простой пример иллюстрирует явление интерференции в электромагнитном поле. Говорят, что два (или больше) поля интерферируют между собой, если поток или плотность энергии результирующего поля не равны сумме соответствующих величин составляющих полей. Интерференция связана с тем, что поток энергии, так же как и ее плотность, являются квадратичными функциями поля.

Существуют ли потоки энергии в статических полях, образованных суперпозицией электрического и магнитного полей, таких что формально Как мы видели выше, в таких полях линии вектора Пойнтинга замкнуты, т. е. энергия поля циркулирует по некоторым замкнутым кривым. Реальны ли эти потоки энергии? Можно ли обнаружить их экспериментально? Оказывается, что можно. Простейший, хотя, быть может, и не очень убедительный способ — поместить в такое поле заряженную частицу. Она будет дрейфовать (см. (56.9)) со скоростью т. е. как раз вдоль вектора Пойнтинга. При этом скорость дрейфа такова, что в сопровождающей системе отсчета Более убедительным примером может служить цилиндрический конденсатор в магнитном поле (рис. VI.20). Циркуляция энергии приводит здесь к появлению момента поля

где — плотность импульса поля, пропорциональная вектору Пойнтинга. Этот момент можно наблюдать, например, по закручиванию конденсатора при изменении магнитного поля. Механизм закручивания

Рис. VI.20. Вращение заряженного цилиндрического конденсатора, внесенного в магнитное поле.

связан с действием ЭДС индукции на поверхностные заряды конденсатора. Пусть для простоты магнитное поле сосредоточено только в зазоре конденсатора. Тогда электрическое поле на внутреннем цилиндре равно нулю, а на внешнем . Момент сил этого поля

Поверхностная плотность зарядов на конденсаторе и окончательно получаем

где — объем поля. Сравнивая с (55.5) найдем для плотности импульса выражение

Обратим внимание, что как в вектор Пойнтинга, так и в плотность импульса входит «противоестественная» комбинация полей: одно из них — полное , а второе — вспомогательное

Импульс поля естественно связать с его массой, плотность которой равна Попробуем установить количественное соответствие на примере однородно заряженного конденсатора в вакууме, движущегося со скоростью параллельной пластинам. Казалось бы, плотность импульса в таком конденсаторе должна равняться . С другой стороны, магнитное поле в движущемся конденсаторе тогда по формуле т. е. в два раза больше. Опять мы получаем ту же «загадочную» двойку, что и в § 49.

Приведем еще одну любопытную интерпретацию выражения (55.7) для импульса поля. Дифференцируя это выражение по времени, найдем

Первое слагаемое можно рассматривать как силу Лоренца, действующую на ток смещения а второе связано с «магнитным током смещения»