§ 41. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ

Поместим в однородное магнитное поле длинный ферромагнитный стержень с (рис. V.5). Тогда магнитный поток будет проходить в основном по стержню. Действительно, граничное условие на боковой поверхности стержня показывает, что полное магнитное поле В внутри стержня в раз больше, чем снаружи. Отсюда возникает аналогия с электрическим током, который течет только внутри проводников. Соответственно, длинный ферромагнетик называется часто магнитопроводом. Разумеется, эта аналогия является чисто формальной. Тем не менее она может быть выражена количественно. Основой точного описания магнитного потока как некоторого «тока» является закон сохранения циркуляции вектора Н (33.3):

который можно сравнить с выражением для Вектор Н оказывается, таким образом, аналогичным

Рис. V.5. Ферромагнитный стержень в однородном магнитном поле.

полному полю (включая стороннее), определяющему плотность тока . В магнитном поле роль плотности тока играет индукция нормальная компонента которой сохраняется при переходе через границу двух сред, как это имеет место и для плотности тока. Магнитная проницаемость, следовательно, аналогична электрической проводимости.

В случае длинных и тонких магнитопроводов уравнение для магнитного потока можно написать в более привычной «электротехнической» форме. Рассмотрим замкнутый неразветвленный магнитопровод и будем считать магнитное поле постоянным по его поперечному сечению. Тогда и уравнение (41.1) принимает следующий вид:

что в точности совпадает с «электрической» формулой (21.7). Величина называется магнитным сопротивлением.

Обратная величина

характеризует магнитную проводимость цепи и называется индуктивностью электрического проводника, ток в котором возбуждает магнитное поле. Индуктивность характеризует ЭДС индукции, возникающую в этом проводнике при изменении тока (см. § 46).

Для расчета разветвления магнитных цепей можно использовать аналог законов Кирхгофа (см. § 24). Первый закон следует в конечном счете из уравнения . В отличие от электрического уравнения справедливого только в стационарном случае, уравнение справедливо всегда.

В практических расчетах обычно используется упрощенное правило:

где — потоки в отдельных магнитопроводах, образующих узел. Приближенность соотношения (41.4) состоит в пренебрежении так называемыми потоками рассеяния вне магнитопроводов; иными словами, принимается, что магнитный поток идет только внутри магнитопроводов. Для магнитного потока это гораздо худшее приближение, чем для электрического тока. В последнем случае отношение проводимостей металла и изолятора, действительно, очень велико, так что практически всегда можно пренебречь утечками через изолятор. Для обычного магнитопровода т. е. отличие от окружающей среды не столь велико. Нужно еще учесть, что поперечное сечение магнитопровода, как правило, много меньше поперечного сечения рассеянного потока. Поэтому сопротивление рассеяния может оказаться сравнимым с сопротивлением магнитопровода, и в точных расчетах его необходимо учитывать. Магнитная цепь похожа в этом отношении на голый электрический

Рис. V.6. Цилиндрический магнитный экран и его эквивалентная схема.

Рис. V.7. Электромагнит с узким зазором и его эквивалентная схема.

проводник, помещенный в плохо проводящую среду, например закопанный в землю. С другой стороны, и для магнитопровода существует экзотический «изолятор» — сверхпроводник, магнитное поле внутри которого всегда равно нулю (см. § 54). Если магнитное поле переменное, причем его частота достаточно велика, то «магнитным изолятором» может служить любой хороший проводник. Магнитное поле не проникает в него из-за так называемого скин-эффекта (см. § 87).

Второй закон Кирхгофа для магнитного потока вытекает из основного уравнения магнитных цепей (41.2).

Метод магнитных цепей позволяет, в частности, оценивать действие магнитных экранов сложной формы (см., например, рис. V.6). Эквивалентная схема магнитной цепи такого экрана показана на этом же рисунке. Здесь — сопротивления двух половинок цилиндрического экрана, по которым растекается магнитный поток — сопротивление рассеяния внутри экрана. Для указанных размеров экрана (на единицу длины экрана в направлении, перпендикулярном рисунку); Мы считаем для простоты, что а Отсюда

где принято, что достаточно велико Поток Ф (на единицу длины) можно приближенно оценить как . С другой стороны, откуда коэффициент экранирования к . Для толстого экрана получается чересчур хорошее согласие с точной формулой (см. § 40): особенно если учесть, что последняя относится к сферическому экрану. Для кругового цилиндра радиуса точное решение дает

Задача 1. Найти поле электромагнита с узким зазором (рис. V.7).

Предположим, что можно пренебречь потоками рассеяния (см. задачу 2). Тогда из эквивалентной схемы получаем

где — периметр и сечение магнитопровода (железа). Окончательно имеем

Рис. V.8. Электромагнит с длинными полюсами и его эквивалентная схема.

Последнее приближение соответствует обычной ситуации, когда можно пренебречь магнитным сопротивлением железа. Таким образом, электромагниты позволяют получать в небольших зазорах сильные поля, ограниченные только насыщением железа (см. § 42).

Задача 2. Найти рассеянное магнитное поле в зазоре электромагнита с очень длинными полюсами (рис. V.8, ).

Разбивая условно полюса и зазор на отдельные участки длины получим эквивалентную схему, изображенную на том же рисунке. Здесь — сопротивление участка полюса, а — сопротивление воздушного зазора, соответствующего этому участку. Будем считать длину отдельного участка А достаточно малой, поскольку рассеянное поле распределено непрерывно. Последнее мы будем считать однородным по у, что справедливо для достаточно узкого зазора. Законы Кирхгофа дают

Первое уравнение выражает уменьшение потока вдоль полюсов за счет потока рассеяния. Второе дает падение «магнитного напряжения» на «сопротивлениях» Дифференцируя второе уравнение по подставляя в него первое, получим

Считая полюса достаточно длинными, возьмем только убывающее решение этого уравнения:

Поле найдем, пренебрегая магнитным сопротивлением железа внутри обмотки:

Задача 3. Оценить провисание магнитного поля в узкую длинную щель, ограниченную сверхпроводником.

Так как магнитное поле не проникает в сверхпроводник (см. § 54), картина силовых линий (рис. V.9) качественно такая же, как и в задаче 2. Поэтому для оценки можно использовать решение этой задачи, положив Отсюда т. е. поле затухает в щели на расстоянии Точное решение дает

Рис. V.9. Провисание магнитного поля в щель, ограниченную сверхпроводником.