§ 78. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ. ИМПУЛЬСНОЕ ПОЛЕ

Периодическое поле является некоторым идеализированным пределом, который в действительности никогда не достигается хотя бы потому, что любое поле ограничено в пространстве и во времени. Такое ограниченное поле называется импульсным. На рис; XI.2 приведен пример импульсного поля, возникающего при движении ультрарелятивистского электрона в магнитном поле (так называемое синхротронное излучение, § 134). Можно ли представить такое поле как суперпозицию монохроматических волн? Для изучения этого вопроса применим следующий довольно общий прием. Представим себе, что поле на рис. XI.2 периодически повторяется через некоторый период Г, достаточно большой, чтобы можио было пренебречь перекрытием «хвостов» поля. Тогда можно произвести фурье-разложение, а затем, положив вернуться к исходной задаче об импульсном поле. При получаем

Хотя введение дифференциала не вполне корректно, так как — целое, но это удобно в такого рода предельных переходах. Таким образом, мы получили для импульсного поля фурье-разложение, но не в виде суммы, а в виде интеграла. В этом случае говорят о непрерывном спектре поля, т. е. частота гармоник пробегает теперь непрерывный ряд значений.

Рис. XI.2. Импульс синхротронного излучения электрона, движущегося в накопителе ВЭПП-3. Энергия 1,5 ГэВ, радиус кривизны траектории

Спектр вычисляется из (77.3) с помощью аналогичного предельного перехода:

Калибровка спектра (множитель выбрана таким образом, чтобы подчеркнуть симметрию соотношений (78.1), (78.2), Как и в случае соотношений (77.1), (77.3), такая калибровка не является общепринятой. Говорят также о фурье-преобразовании, причем спектр называется фуръе-образом функции , наоборот, является фурье-образом Отметим еще, что амплитуда постоянной составляющей с точностью до множителя совпадает с интегралом от поля

Задача 1. Найти спектр одиночного прямоугольного импульса поля (ср. с задачей 2, § 77 при рис. XI. 1).

По формуле (78.2) имеем

Амплитудный спектр изображен на рис. XI.3, б (см. § 79).

Найдем теперь спектр поля частоты существующего конечное время где при в остальное время. Иначе говоря, — только что рассмотренный прямоугольный импульс. Подставляя вместо его фурье-разложение, мы видим, что спектр поля просто сдвинут относительно спектра на

Пусть теперь мы сместили поле во времени на интервал Тогда в его фурье-раздожении появится дополнительный множитель Иными словами, фаза фурье-гармоники сместится на величину

Рис. XI.3, Амплитудные спектры последовательности прямоугольных импульсов.

Задача 2. Найти спектр затухающих колебаний.

Пусть колебания, «включенные» в момент , затухают по экспоненциальному закону: . С помощью (78.2) получаем (ср. (52.10)):

При имеем незатухающие колебания, «включенные» в момент При их опектр найдем из (78.4), положив

Чтобы найти поведение спектра при произведем предельный переход более аккуратно:

Покажем теперь, что первое слагаемое при Для этого вычислим интеграл

откуда

Второе слагаемое при дает (78.5). В результате получаем спектр незатухающих колебаний в виде

Второе слагаемое в этом выражении возникает вследствие включения колебаний в момент Если рассмотреть нарастающие колебания, которые выключаются при то их спектр будет отличаться от (78.4) знаком при То же относится и к предельному спектру (78.8). Если теперь сложить оба колебания, то в пределе получатся монохроматические колебания спектр которых есть -функция:

При получим из (78.8) спектр «ступеньки», т. е. постоянного поля, включенного в момент а из (78.9) — спектр статического поля.

Задача 3. Найти спектр поля гауссовой конфигурации: Интеграл в (78.2) берется с помощью следующего приема. В показателе экспоненты выделяем полный квадрат:

и переходим к новой переменной имеем

т. е. фурье-образ поля также имеет гауссову форму.

Обратим внимание на характерную особенность спектров во всех трех задачах: чем уже (короче) поле во времени или в пространстве, тем шире его спектр. Мы вернемся к этому вопросу в § 79.

Для непрерывного спектра также справедлива векторная аналогия фурье-разложения, но теперь уже с непрерывным множеством базисных векторов . В этом случае условие их ортонормируемости становится нетривиальным. Оно может быть получено с помощью двойного фурье-преобразования:

Но последнее равенство будем справедливым для любой только если выражение в квадратных скобках является -функцией:

Это и есть условие ортонормируемости базисных векторов в непрерывном спектре. Кроме того, такое выражение дает полезное

представление б-функции. В частности, с его помощью сразу получается спектр монохроматической волны (78.9).

Используя (78.12), можно написать баланс энергии, аналогичный (77.16), и для непрерывного спектра:

В заключение проиллюстрируем векторную аналогию фурье преобразования: