§ 67. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ

Выведем волновое уравнение для потенциалов. Для этого выразим поля через потенциалы

и подставим их во второе из уравнений (65.1), добавив в него ток (см. § 45). Считая, как и выше, имеем

Раскрывая оператор найдем

Наложим теперь на потенциалы дополнительное условие, определиющее их калибровку (см. § 31):

Тогда для вектор-потенциала справедливо такое же волновое уравнение, как и для полей:

Чтобы определить волновое уравнение для скалярного потенциала возьмем дивергенцию от обеих частей второго из соотношений (67.1):

Используя связь между потенциалами (67.3), получим волновое уравнение для

Соотношение (67.3) носит название условия Лоренца на потенциалы. При выполнении этого условия говорят о потенциалах в лоренцевской калибровке.

Другая удобная калибровка потенциалов определяется условием

вместо (67.3). Она называется кулоновской калибровкой. Хотя уравнение для А при этом усложняется (см. (67.2)):

но зато скалярный потенциал описывается теперь просто уравнением Пуассона

как и в статическом поле. Отметим, однако, что решение этого уравнения отличается от статического, так как необходимо учесть запаздывание потенциалов относительно источников (см. § 119). Кулоновская калибровка особенно удобна в случае свободного электромагнитного поля фактически достаточно . В этом случае (в однородном пространстве) решение уравнения (67.8) есть просто так что свободное поле можно описать только векторным потенциалом, который удовлетворяет уравнению (67.4).