§ 8. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА. ПОНЯТИЕ О «дельта»-ФУНКЦИИ
Используя принцип суперпозиции и выражение для кулоновского потенциала, можно выразить потенциал зарядов, произвольно распределенных в ограниченном объеме, в виде
где интеграл берется по всему пространству. Это выражение называют иногда общим решением уравнения Пуассона, однако оно записано здесь в неявной форме, так как в общем случае интеграл не берется. Тем не менее такая форма решения очень удобна для получения различных приближенных выражений и оценок, например для мультипольного разложения (см. § 5). Отметим, что мы положили
Можно ли применять выражение (8.1) в случае дискретного распределения заряда, например для одного точечного заряда? Оказывается, что это возможно с помощью специальной функции, изобретенной английским физиком Дираком, так называемой
-функции. Для одного заряда
расположенного в точке
положим
Ясно, что введенная таким образом
-функция должна обладать следующими необычными свойствами
1.
всюду, кроме
так как заряд точечный.
2. Плотность заряда в точке
бесконечна, т. е.
.
3.
так как полный заряд равен .
4.
, где
-любая непрерывная функция.
С физической точки зрения распределение заряда в виде
-функции можно представить как очень узкое распределение, ширина которого много меньше характерных размеров задачи (рис. 1.7). Например,
Рис. 1.7. Поведение функции
Подставляя выражение (8.2) в (8.1), найдем
Интегрирование здесь производится фактически по бесконечно малому объему вокруг точки
где все функции, кроме
можно считать постоянными. Отсюда и из соотношений (7.3) и (8.2) находим еще одно представление
-функции:
Теперь можно проверить непосредственно, что общее решение (8.1) действительно удовлетворяет уравнению Пуассона. Имеем