§ 8. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА. ПОНЯТИЕ О «дельта»-ФУНКЦИИ

Используя принцип суперпозиции и выражение для кулоновского потенциала, можно выразить потенциал зарядов, произвольно распределенных в ограниченном объеме, в виде

где интеграл берется по всему пространству. Это выражение называют иногда общим решением уравнения Пуассона, однако оно записано здесь в неявной форме, так как в общем случае интеграл не берется. Тем не менее такая форма решения очень удобна для получения различных приближенных выражений и оценок, например для мультипольного разложения (см. § 5). Отметим, что мы положили

Можно ли применять выражение (8.1) в случае дискретного распределения заряда, например для одного точечного заряда? Оказывается, что это возможно с помощью специальной функции, изобретенной английским физиком Дираком, так называемой -функции. Для одного заряда расположенного в точке положим

Ясно, что введенная таким образом -функция должна обладать следующими необычными свойствами

1. всюду, кроме так как заряд точечный.

2. Плотность заряда в точке бесконечна, т. е. .

3. так как полный заряд равен .

4. , где -любая непрерывная функция.

С физической точки зрения распределение заряда в виде -функции можно представить как очень узкое распределение, ширина которого много меньше характерных размеров задачи (рис. 1.7). Например,

Рис. 1.7. Поведение функции

Подставляя выражение (8.2) в (8.1), найдем

Интегрирование здесь производится фактически по бесконечно малому объему вокруг точки где все функции, кроме можно считать постоянными. Отсюда и из соотношений (7.3) и (8.2) находим еще одно представление -функции:

Теперь можно проверить непосредственно, что общее решение (8.1) действительно удовлетворяет уравнению Пуассона. Имеем