§ 35. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДИПОЛЯ С МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

Взаимодействие любой системы токов с магнитным полем определяется силой Лоренца (28.3), которую нужно проинтегрировать по всем токам:

Здесь — полные сила и момент силы соответственно.

Если бы магнитное взаимодействие удовлетворяло третьему закону Ньютона, то в (35.1) можно было бы оставить только внешнее поле, так как тогда все силы между элементами системы взаимно компенсировались бы. Однако мы знаем, что в общем случае для магнитного взаимодействия не выполняется третий закон Ньютона (см. § 28). Но если мы имеем стационарную систему токов, то третий закон Ньютона справедлив (см. § 28), и полная сила и момент (35.1) определяются только внешним полем.

Если система токов характеризуется приближенно магнитным моментом, а внешнее поле почти однородно, общее выражение (35.1) можно существенно упростить. В этом случае появляется малый параметр — характерный масштаб изменения внешнего поля), по которому можно произвести разложение выражений (35.1).

Наиболее просто вычислить момент К, для чего достаточно рассмотреть нулевое приближение, т. е. положить Раскрывая двойное векторное произведение, получим

Второе слагаемое не дает вклада в интеграл для К, так как Н можно вынести из-под интеграла, а оставшееся выражение (см. § 34). Первое же слагаемое (35.2) аналогично выражению для вектор-потенциала магнитного момента (34.5) с заменой вектора — на Н. Тогда с учетом (34.7) находим для К:

Найдем энергию магнитного диполя во внешнем поле. Для этого вычислим работу, совершаемую при повороте магнитного диполя, считая его постоянным

Здесь — угол между векторами , а энергия отсчитывается от состояния

Взаимодействие магнитного момента с магнитным полем оказывается полностью аналогичным взаимодействию электрического диполя с электрическим полем (см. § 5). Отсюда вытекает, в частности, и аналогия во взаимодействии двух диполей. Из (34.9) и (35.4) находим энергию магнитного диполь-дипольного взаимодействия:

Из формулы для энергии можно получить силу, действующую на магнитный момент в слабо неоднородном поле:

Это равенство также аналогично одному из выражений для силы, действующей на диполь в электрическом поле (см. § 5). Другое выражение, полученное в электростатике, применимо и в магнитном поле:

но при дополнительном условии . Для доказательства эквивалентности соотношений (35.6) и (35.7) достаточно воспользоваться преобразованием

То же самое относится и к эквивалентности аналогичных выражений в электростатике. Что же справедливо в общем случае, когда . В электростатике всегда справедливо соотношение поскольку оно получено путем непосредственного суммирования сил, действующих на заряды системы. Оказывается, что в магнитном поле в общем случае справедливо другое выражение (35.6), причем всегда нужно считать, что (см. задачу 1 ниже). Эту силу можно использовать, в частности, для удержания нейтронов в магнитной ловушке (см. § 57).

Задача. Найти силу, действующую на магнитный диполь, непосредственно из силы Лоренца.

Разлагая магнитное поле в окрестности диполя и подставляя это приближение в (35.1), найдем

Докажем, что последнее выражение равно . Для этого рассмотрим соотношение , где мы считаем Используя формулу для (см. § 34), напишем . Производя замену преобразуя подынтегральную функцию , опуская полный дифференциал и переходя обратно к интегрированию по объему, получаем окончательно