§ 27. ПУЧКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

Особым видом электрического тока являются потоки свободно летящих заряженных частиц, которые обычно называются пучками. Пучки частиц существуют либо в очень высоком вакууме, когда можно пренебречь столкновениями с молекулами остаточного газа, либо при очень большой энергии частиц, когда длина свободного пробега значительно возрастает.

Чем же определяется величина тока пучка? Прежде всего — источником. Например, эмиссия электронов с накаленного катода существенно зависит от температуры последнего. Однако не только от этого. Рассмотрим электронный диод, состоящий из двух плоских параллельных электродов — катода и анода, достаточно больших, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами (рис. III.8). На диод подано напряжение V. Допустим, что мы можем неограниченно увеличивать Эмиссию катода. Будет ли при этом ток через диод также неограниченно возрастать? Оказывается, что не будет, так как находящиеся между катодом и анодом электроны будут тормозить электроны, покидающие катод. Иначе говоря, напряженность поля на катоде будет уменьшаться с ростом тока и, наконец, обратится в нуль, после чего возрастание тока прекратится независимо от эмиссии катода.

Вычислим предельное значение тока.

Для этого необходимо рассчитать поле диода с учетом пространственного заряда пучка т. е. нужно решить уравнение Пуассона. Плотность заряда можно найти из выражения для плотности тока

В рассматриваемой геометрии задача является одномерной, т. е. все величины

Рис. III.8. Поток электронов и распределение потенциала в плоском диоде.

зависят только от координаты х (см. рис. III.8), а векторы имеют только одну составляющую.

В случае постоянного тока из уравнения непрерывности следует, что а закон сохранения энергии для электрона дает . Мы приняли здесь потенциал катода равным нулю и пренебрегли тепловыми скоростями электронов на катоде.

Таким образом, необходимо решить следующее уравнение

где так как (вектор плотности тока направлен к катоду).

Это уравнение внешне похоже на уравнение движения в механике с заменой на х. Поэтому его можно проинтегрировать аналогичным образом. Умножая обе части уравнения на найдем первый интеграл, аналогичный интегралу энергии в механике:

Постоянная интегрирования определяется из граничных условий на катоде . Теперь нужно проинтегрировать уравнение и использовать граничное условие на аноде . В результате получим

Последнее равенство определяет предельный ток диода, ограниченный собственным пространственным зарядом:

Плотность тока в диоде оказывается пропорциональной напряжению на нем в степени 3/2, поэтому соотношение (27.4) называется обычно законом «трех вторых», или законом Чайлда — Ленгмюра — Богуславского.

Конечно, этот закон существенно отличается от закона Ома, так как динамика движения частиц здесь совершенно иная. Можно, однако, ввести эффективное интегральное сопротивление диода (см. § 21) по следующей формуле:

где — поперечная площадь пучка электронов — напряжение на диоде в вольтах.

Увеличение проводимости диода с ростом напряжения имеет простой физический смысл и связано с увеличением средней скорости

электронов пропорционально Отсюда следует, в частности, что в ультрарелятивистском случае мы снова придем к закону Ома, хотя природа его совершенно иная (см. ниже, задача 1):

Распределение потенциала в диоде (27.3) изображено на рис. III.8. Характерной его особенностью является так называемое «провисание» потенциала по сравнению со случаем нулевого тока

Задача 1, Обобщить закон «трех вторых» на область релятивистских энергий.

Изменение касается связи скорости с потенциалом. Релятивистская формула имеет вид Мы используем здесь релятивистскую систему единиц: в которой единица потенциала равна а единица тока (численные значения даны для электронов).

Исходное уравнение для потенциала принимает теперь вид

Первый интеграл с учетом условий на катоде дает

В общем случае это уравнение не интегрируется в элементарных функциях. Для ультрарелятивистской области находим

Рассмотрим движение пучка электронов между двумя эквипотенциальными плоскостями (в так называемом дрейфовом пространстве, рис. III.9). Разумеется, электроны должны иметь теперь ненулевые начальные скорости. Примем, что скорости всех электронов одинаковы и будем характеризовать их эффективным ускоряющим потенциалом Рассмотрим вначале качественную картину движения такого пучка по мере увеличения его тока. При небольшом токе поле пространственного заряда пучка мало и вызывает лишь небольшое «провисание» потенциала (см. рис. III.9, кривая 2), что, в свою очередь, приводит к некоторому торможению электронов. При достаточно большом токе торможение становится

Рис. III.9. Распределение потенциала внутри пучка в дрейфовом пространстве,

настолько значительным, что электроны останавливаются, и часть их отражается назад (см. рис. III.9, кривая 3). Потенциал при этом провисает до нуля и образуется так называемый виртуальный катод. Его положение в промежутке легко найти, если заметить, что каждый из двух участков системы по обе стороны от виртуального катода можно рассматривать как плоский диод.

Пусть плотность тока, поступающего в дрейфовое пространство (тока «эмиссии»), равна прошедшего — и отраженного . Тогда по закону «трех вторых»:

где протяженность дрейфового пространства, о — плотность тока через диод с зазором при напряжении . Решая систему (27.8), найдем

где При очень большом начальном токе Полученный результат имеет простой физический смысл. Слева от виртуального катода плотность заряда неограниченно возрастает при так как при этом почти все электроны отражаются назад, что приводит к запиранию пучка на очень коротком участке. Справа же от виртуального катода остается диод с зазором

Минимальное значение тока, для которого еще справедливо решение (27.9), соответствует обращению в нуль подкоренного выражения. Это происходит при когда (см. рис. III.9, кривая 3). При дальнейшем уменьшении тока виртуальный катод исчезает.

Интересно отметить, что образование виртуального катода при увеличении тока происходит при т. е. при вдвое большем токе, чем его исчезновение. Это значит, что имеет место так называемый гистерезис (т. е. запаздывание перехода), изображенный на рис. III.10. В области возможны два состояния электронного пучка — как с виртуальным катодом, так и без него. Такая неоднозначность решения является характерной для нелинейного уравнения Пуассона и связана с тем, что плотность заряда электронного пучка сама зависит от его потенциала (так называемое самосогласованное решение).

Задача 2. Оценить поправку к закону «трех вторых» за счет тепловых скоростей электронов на катоде (рис.

Будем характеризовать тепловые скорости эффективным ускоряющим потенциалом учетом тепловых скоростей в диоде образуется нечто вроде виртуального катода, отражающего лишний ток эмиссии, при этом эффективная разность потенциалов увеличивается на величину Максимальное смещение виртуального катода соответствует отсутствию отраженного тока. Его положение в этом случае можно оценить по закону «трех вторых», пренебрегая разбросом тепловых скоростей: . Поправка к току

Рис. 111.10. Характеристика дрейфового промежутка.

Рис. 111.11. Распределение потенциала в диоде с учетом тепловых скоростей электронов.

через анод имеет порядок Мы видим, что основную роль играет увеличение эффективной разности потенциалов в диоде. Впрочем, эта поправка является, как правило, незначительной, так как

Задача 3. Оценить глубину потенциальной ямы (см. рис. 111.11), если известны плотность тока эмиссии и плотность тока поступающего на анодг а распределение электронов по скоростям — максвелловское с температурой катода Т, т.е. . Плотность тока, достигающего анод, равна Отсюда

Может показаться, что закон «трех вторых» запрещает транспортировку пучка заряженных частиц на большие расстояния Однако зависимость от расстояния имеет место только для одномерной задачи. Обратный предельный случай вытянутого пучка внутри металлической трубки изображен схематически на рис. 111.12. Ясно, что при этом торможение электронов может происходить только на краю трубки, на расстоянии порядка ее радиуса. На больших расстояниях отрицательный заряд пучка компенсируется положительным, наведенным на внутренней стенке трубки. Поэтому в законе «трех вторых» нужно положить Считая, что радиус пучка того же порядка , получим, что полный ток, который можно пропустить через трубку, вообще не зависит от ее размеров и определяется только энергией электронов. Эффективное сопротивление трубки (27.5), (27.6) имеет порядок

Последнее выражение дает ультрарелятивистский предел.

Рис. 111.12. Пучок электронов внутри проводящей трубы. 1 — катод; 2 — металлическая труба (анод); 3 — пучок.

Можно было бы попытаться еще больше увеличить ток пучка, компенсируя его пространственный заряд ионами. Такая компенсация будет происходить автоматически за счет ионизации остаточного газа, если не принято специальных мер по очистке пучка от ионов. Оказывается, однако, что таким методом можно увеличить предельный ток пучка лишь приблизительно в шесть раз. При дальнейшем увеличении тока возникает неустойчивость: небольшое случайное провисание потенциала экспоненциально нарастает, пока не образуется виртуальный катод, запирающий пучок.