§ 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МУЛЬТИПОЛИ

Принцип суперпозиции позволяет вычислять потенциал и поле произвольной системы зарядов. Однако при большом числе зарядов в общем случае получаются громоздкие выражения, пригодные лишь для численных расчетов с помощью ЭВМ. Только иногда эти выражения удается упростить так, что их можно использовать в аналитической теории, имеющей дело с формулами, а не с конкретными числовыми значениями физических величин. Одним из таких важных частных случаев является поле системы зарядов на расстояниях много больших размеров системы а. При этом в задаче появляется малый параметр по которому можно произвести разложение (в ряд Тейлора).

Выбрав начало координат где-нибудь внутри системы зарядов, запишем общее выражение для потенциала в виде

где — радиус-вектор заряда (рис. 1.2). Конечно, вначале следует найти потенциал поля, поскольку это — скалярная величина, и формула для нее значительно проще, чем для вектора напряженности Е. Разлагая выражение

Рис. 1.2. Система зарядов.

вблизи и ограничиваясь двумя первыми членами, получим приближенную формулу

где — полный заряд системы, а

называется ее диполъным моментом. Первое слагаемое в (5.2) совпадает с полем точечного заряда а второе полем диполя (4.3), в соответствии с чем называют кулоновским, а — дипольным потенциалами.

Дипольный потенциал является малой поправкой к кулоновскому: Однако, если полный заряд (или близок к нулю), дипольный член может играть основную роль.

Разложение (5.2) можно продолжить дальше и получить квадрупольный октупольный потенциалы, порядок которых можно оценить так:

Отметим, что дипольный момент системы не является однозначным и зависит от произвольного выбора начала отсчета. При смещении последнего имеет место преобразование Отсюда ясно, что если , всегда можно выбрать такое чтобы Это показывает, что дипольный момент характеризует смещение «центра» заряда. Если же то однозначно описывает пространственное разделение разноименных зарядов. Примером такой системы может служить заряженный плоский конденсатор.

Высшие мультипольные моменты характеризуют различные деформации системы зарядов относительно сферически-симметричного случая. В частности, квадрупольный момент описывает сплющенность или вытянутость системы.

Мультиполи изображены на рис. 1.3. Один из них — заряженный плоский конденсатор (конечных размеров!), дипольный момент которого

Задача 1. Найти напряженность дипольного поля.

Используя общую формулу получаем

Задача 2. Найти силу, действующую диполь в слабонеоднородном электрическом поле.

Разлагая точное выражение для силы, получим

Рис. 1.3. (см. скан) Примеры мультиполей. а — плоский конденсатор; б — квадруполь; в — октуполь; -поль (в плоскости чертежа).

Мы приняли здесь, что полный заряд системы Последнее соотношение позволяет интерпретировать величину

как потенциальную энергию диполя во внешнем поле. При этом мы считали, что что справедливо только для «твердых» диполей не зависит от Е). Для квазиупругих диполей (подробнее см. § 14) и поэтому