§ 48. СОХРАНЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОТОКА. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Рассмотрим замкнутый проводящий контур с током, обладающий сопротивлением Из законов Фарадея и Кирхгофа имеем . В случае идеального проводника магнитный поток сквозь контур сохраняется:

Ясно, что это равенство будет справедливо и для идеального проводника произвольной формы. В случае конечного сопротивления поток в контуре убывает по закону

где использовано соотношение а индуктивность проводника принята постоянной. В сплошном куске проводника убывание потока можно оценить следующим образом. Пусть вначале проводник находился в постоянном внешнем поле (рис. VI.6, сплошные линии). При выключении внешнего источника поле внутри проводника сохраняется в течение некоторого времени, а силовые линии замыкаются снаружи проводника (рис. VI.6, штриховые

Рис. VI.6. «Вмороженное» поле. Сплошные линии — начальное поле, штриховые — поле после выключения внешнего источника.

линии). Сопротивление контура можно оценить в данном случае как а индуктивность Отсюда

Для медного проводника размером время затухания потока мин. Таково же и время проникновения внешнего магнитного поля в массивный проводник.

Полученную оценку интересно применить к гигантскому проводнику — нашей Земле. Считается, что ядро Земли состоит из железа и никеля и нагрето до температуры в несколько тысяч градусов. Примем проводимость ядра о (выше точки Кюри). Тогда время сохранения магнитного поля в Земле лет. Это слишком мало, чтобы можно было объяснить природу земного магнитного поля простым сохранением какой-то первоначальной намагниченпости. К тому же земное поле испытывает сильные нерегулярные изменения (см. § 43). Отметим, что характерное время этих изменений как раз лет.

В оплошном проводнике сохраняется магнитный поток через любой контур внутри проводника. Это значит, что сохраняется само магнитное поле: Говорят, что силовые линии «вморожены» в проводник.

Если проводник деформируется (например, плазма), силовые линии остаются по-прежнему вмороженными, т. е. скрепленными с теми же самыми элементами проводника. Это значит, что они смещаются при деформации проводника, так что напряженность магнитного поля изменяется. Рассмотрим, например, длинный цилиндр, в котором возбужден циркулирующий ток (магнитное поле направлено по оси цилиндра и приблизительно однородно). Если теперь каким-то образом сжать цилиндр, магнитное поле будет возрастать обратно пропорционально площади цилиндра. При этом полная энергия магнитного поля будет возрастать по тому же закону: . Увеличение энергии поля происходит за счет работы внешних сил, сжимающих цилиндр. Это один из методов получения сверхсильных магнитных полей (см. § 50). Интересно отметить, что такой процесс может автоматически происходить в турбулентной плазме (см., например, [9]). Это объясняется тем, что турбулентное движение локально неустойчиво, т. е. любой малый элемент объема плазмы быстро растягивается в одном направлении и сжимается в поперечных к данному направлениях (так как средняя плотность плазмы сохраняется).

Закон сохранения магнитного потока дает возможность наглядно пояснить так называемое правило Ленца, согласно которому токи, возбужденные ЭДС индукции, всегда направлены таким образом, чтобы уменьшить изменение магнитного потока через контур. В предельном случае нулевого сопротивления контура магнитный поток в нем вообще не изменяется. Фактически, правило Ленца связано с законом сохранения энергии, так как при обратном направлении индукционных токов они бы неограниченно возрастали.

Поучительной иллюстрацией действия правила Ленца служит пример витка с индуктивностью замкнутого на сопротивление и: помещенного в переменное (линейно нарастающее) магнитное поле. Согласно закону электромагнитной индукции можем написать:

где Ф — полный магнитный поток через виток. Пусть, например, Тогда уравнение для тока принимает вид , где — константы. Это неоднородное уравнение заменой приводится к однородному уравнению, и окончательное решение имеет вид

при начальном условии Найдем теперь отношение скорости нарастания полного потока Ф к скорости изменения внешнего потока

В начальный момент это отношение примерно равно т. е. собственное поле витка почти полностью компенсирует изменение внешнего потока. Однако с течением времени компенсация прекращается, т. е. правило Ленца перестает действовать. Это связано с тем, что ток в витке достигает стационарного значения.

С другим важным случаем сохранения магнитного потока мы встретимся при изучении движения заряженной частицы в неоднородном магнитном поле (см. § 57).