Глава VII. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

§ 56. ЧАСТИЦА В ОДНОРОДНОМ И ПОСТОЯННОМ ПОЛЕ

Движение заряженной частицы с произвольной скоростью в электромагнитном поле оцределяется силой Лоренца (29.1):

где — релятивистский импульс, заряд частицы. В этом параграфе мы рассмотрим простейший случай однородного в пространстве и постоянного во времени электромагнитного поля. Отметим, что это свойство поля является релятивистски инвариантным, т. е. сохраняется в любой инерциальной системе отсчета.

Пусть вначале (в некоторой системе отсчета). Выберем ось X вдоль вектора Е. Тогда

где — компонента импульса, перпендикулярная вектору Е, которая сохраняется. Выберем систему единиц, в которой — эффективная масса частицы. Тогда . (В этой системе единиц энергия частицы измеряется в единицах электрический потенциал — в единицах ) Выберем, далее, начало отсчета времени таким образом, чтобы Тогда решение уравнения (56.2) имеет вид

При малых движение нерелятивистское; а при больших — ультрарелятивистское: т. е. скорость частицы стремится к предельному значению. Движение, характеризуемое формулой (56.3), называется в теории относительности «равноускоренным». Конечно, не в буквальном смысле, поскольку существует предельная скорость. Поэтому ускорение в исходной системе отсчета

причем эффективная масса частицы (так называемая «продольная» масса) растет как Однако ускорение в сопровождающей системе отсчета остается постоянным, так как

продольная компонента . Отметим, что в полной размерности инвариантное ускорение

Интегрируя уравнение (56.3), найдем

Опять-таки при малых получаем обычный нерелятивистский закон равноускоренного движения: а при Это значит, в частности, что фотон, выпущенный в момент хотя и обгонит частицу, но лишь на конечное расстояние Если же выпустить фотон с задержкой то он догонит частицу только при условии

Задача 1. Найти закон распада частицы (например, мезона) при равноускоренном движении.

В собственном времени доля частиц, не распавшихся на интервале есть , где Т — среднее время жизни частицы. С другой стороны, собственное время связано с временем инерциальной системы соотношением (см.

Отсюда

распад происходит значительно медленнее, по степенному закону.

Поперечная скорость в лабораторной системе отсчета падает с ростом у, но в сопровождающей системе Отсюда где — собственное время частицы (56.6).

Пусть теперь Так как магнитная часть силы Лоренца перпендикулярна скорости, то энергия частицы сохраняется Поэтому уравнение движения частицы (56.1) имеет тот же вид, что и в нерелятивистском случае, с эффективной массой

т. е. вектор вращается с угловой скоростью которая называется ларморовской частотой по имени английского физика Лармора (1895 г.). Поскольку компонента импульса и скорости вдоль магнитного поля сохраняется, траектория частицы представляет собой равномерную спираль с шагом и радиусом

который называется ларморовским радиусом.

Задача 2. Найти движение частицы в параллельных электрическом и магнитном полях.

Поскольку в магнитном поле то продольное движение описывается теми же выражениями (56.3), (56.5), (56.6), что и при Угол

же поворота вектора удовлетворяет уравнению , где . Отсюда . Траектория частицы представляет собой неравномерную спираль с возрастающим шагом

Пусть теперь векторы Е и Н перпендикулярны, причем . Тогда согласно закону преобразования полей (29.7) существует система отсчета, движущаяся относительно лабораторной системы со скоростью

в которой остается только магнитное поле, а частица движется по спирали (в частном случае — по окружности). Тогда в лабораторной системе отсчета вся спираль (окружность) будет смещаться со скоростью (56.9). Такое сложное движение называется дрейфом, скоростью дрейфа. Амплитуда колебаний частицы вдоль вектора Е равна при этом ларморовскому радиусу в системе отсчета, где Последнее выражение соответствует нулевой начальной скорости в лабораторной системе. В частности, при величина и движение вдоль Е становится неограниченным.

Если то можно аналогичным образом исключить магнитное поле, так что движение в новой системе отсчета будет равноускоренным и, следовательно, неограниченным.