2.2.3. Стохастическая сходимость.

Последовательность случайных векторов может сходиться к пределу который также является случайным вектором. Например, предположим, что последовательность состоит из независимых, одинаково распределенных случайных векторов с вектором математического ожидания М и ковариационной матрицей 2. Суммируя последовательность найдем, что

Тогда имеем

и

Таким образом, в некотором смысле последовательность сходится к вектору математи чес кого ожидания М.

Определение. Если событие

имеет вероятность, равную единице, то для обозначения этого используют запись

и говорят, что последовательность сходится к пределу с вероятностью 1.

Определение. Если

то говорят, что последовательность сходится к пределу в среднеквадратичном смысле.

Определение. Если для всех

то говорят, что сходится к пределу по вероятности. Определение. Если

то говорят, что последовательность распределений величин Х сходится к распределению величины

Примером сходимости последнего типа является центральная предельная теорема, которая состоит в следующем.

Центральная предельная теорема. Если величина имеет вид (2.65), причем величины распределены одинаково, имеют конечную ковариационную матрицу 2 и вектор математического ожидания М, то распределение выражения стремится к нормальному распределению с вектором математического ожидания, равным нулю, и ковариационной матрицей Кроме того, последовательность сходится к М по вероятности.

При суммировании независимых случайных векторов плотность распределения вероятностей равна свертке от Поэтому центральная предельная теорема является лишь свойством свертки, содержащей большое число положительных функций.

Центральная предельная теорема обосновывает применение нормального распределения во многих приложениях, так как часто наблюдениями являются суммы большого числа ненаблюдаемых случайных векторов.

Критерий Коши.

Предположим, что последовательность в некотором смысло стремится к пределу Обычно величина случайного вектора заранее неизвестна. В этом случае для установления факта сходимости можно в формулах (2.69) — (2.72) заменить на где к может быть любым положительным числом.