ПРИЛОЖЕНИЕ 5.1. Вычисление систематической ошибки между С-методом и методом исключения одного объекта

Доказательство соотношения (5.175) разобьем на три части: вычислим отдельно квадратичные члены выражения (5.174), слагаемое, содержащее определители, и член с априорными вероятностями.

1. Вычисление квадратичных членов.

Перепишем оценку ковариационной матрицы (5.171) следующим образом:

Обратная матрица

где определено в (5,177). С учетом (5.169) квадратичная форма примет вид

2. Вычисление члена, содержащего определители.

Используя выражение (П5.1.1.), определитель матрицы можно вычислить следующим образом:

Пусть — собственные числа матрицы Тогда последний определитель в будет равен

Ранг матрицы равен 1. Ранг матрицы также равен 1. Поэтому собственные значения должны удовлетворять следующим условиям:

и

Используя эти результаты, преобразуем выражение к виду

Из выражения получим

3. Вычисление члена, содержащего априорные вероятности.

Если предположить, что то из выражений (5.172) и (5.173) получим

Кроме того,

поэтому

Соотношения (П5.1.3), (П5.1.9) и (П5.1.12) определяют все члены выражений (5.175) и (5.176). Тем самым доказательство завершено.

4. Доказательство неравенства в (5.176).

Предположим, что Определитель должен быть положительным, так как является выборочной ковариационной матрицей, которая положительно определенная. Поэтому определитель также будет положительным, т. е.

С другой стороны, из выражения (5.176) получим

Член равен пулю, когда

Второе решение в (П5.1.15) не удовлетворяет условию (П.5.1.13). Так как при являются соответственно положительной и отрицательной величиной, то первое решение (П5.1.15) соответствует минимальному значению которое имеет следующий вид (для

Неравенство выполняется, так как числители второго и третьего членов больше, чем соответствующие знаменатели.