§ 2.4. Свойства собственных значений и собственных векторов

В этом параграфе приводится обзор различных свойств собственных значений и собственных векторов, упрощающий рассмотрение этих вопросов в следующих главах. В основном будут обсуждаться симметрические ковариационные и автокорреляционные матрицы. Поэтому, если специально не оговорено, то предполагаем, что матрицы являются симметрическими с действительными собственными значениями и собственными векторами.

2.4.1. Ортонормированные преобразования.

Теорема. Матрица собственных значений Л инвариантна относительно любого ортонормированного линейного преобразования.

Доказательство. Пусть А — матрица ортонормированного преобразования, удовлетворяющая условию

С помощью этого преобразования матрица превращается в матрицу [см. (2.84)]. Если и Ф — соответственно матрицы собственных значений и собственных векторов матрицы то

Таким образом, матрицы и должны быть матрицами собственных значений и собственных векторов матрицы причем матрица удовлетворяет условию ортонормировапности