2.4.3. След матрицы.

Теорема. След матрицы равен сумме всех ее собственных значений и инвариантен относительно любого ортонормированного преобразования, е.

Доказательство. Для прямоугольных матриц имеем

так как

где — компоненты матриц Используя равенство (2.151), получим

Как было доказано выше, собственные значения инвариантны относительно любого ортонормированного преобразования.

Поэтому любая функция от собственных значений также будет инвариантной.

Пример 2.16. Если — ковариационная или автокорреляционная матрица, то из вышеприведенной теоремы следует, что сумма дисперсий или вторых моментов отдельных переменных будет инвариантна относительно любого ортонормированного преобразования.

Теорема. След матрицы равен сумме всех ее собственных значений и инвариантен относительно любого ортонормированного преобразования, т. е.

Доказательство. Используя равенство получим

Поэтому

Пример 2.17. Пусть собственных значений являются выборкой, извлеченной из генеральной совокупности случайной величины к. Тогда можно вычислить все моменты распределения случайной величины X с помощью выражения

В частности, имеют место следующие соотношения;

Пример 2.18. Уравнение (2.154) можно применить для нахождения наибольшего собственного значения матрицы, поскольку

где — наибольшее собственное значение. Например, если выбрать то нужно четыре раза перемножить матрицы, т. е. , и для нахождения наибольшего собственного значения определить след матрицы