6.1.3. Равномерная сходимость и оценивание моды.

В этом разделе мы пайдем условия, при которых оцениваемая плотность вероятности сходится по вероятности к истинной плотности равномерно по х. Кроме того, при этих же условиях оказывается возможным получить состоятельные оценки моды.

Условия равномерной сходимости формулируются следующим образом.

Теорема. Если функция кроме условия (6.12), удовлетворяет условию

и характеристическая функция

величины абсолютно интегрируема (следовательно, плотность вероятности равномерно непрерывна), то для любого

Выражение представляет собой характеристическую функцию

Доказательство. Построим характеристическую функцию выборки, фигурирующей в (6.6):

Тогда характеристическая функция оценки может быть получена как произведение характеристических функций

и Поэтому, применяя обратное преобразование, получим

Следовательно,

(см. скан)

Последнее выражение стремится к нулю при условии (6.25). Уравнение (6.30) означает, что

С другой стороны, учитывая равномерную непрерывность можно видоизменить (6.17) таким образом, чтобы вместо (6.16) получить

Комбинируя (6.31) и (6.32), получаем

что эквивалентно (6.27). Тем самым доказательство завершено.

Теперь можно показать, что при тех же условиях оценка моды, или максимума плотности вероятности является состоятельной. Максимум плотности вероятности ищут в тех случаях, когда хотят получить оценку максимального правдоподобия (апостериорную оценку).

В случае равномерно непрерывной плотности вероятности можно получить оценку и найти ее максимум. Пусть максимум достигается в точке в то время как максимум истинной плотности вероятности находится в точке Тогда

Комбинируя (6.33) и (6.34), получим

Таким образом, (6.25) гарантирует как равномерную сходимость так и состоятельность оценки моды