§ 10.3. Двумерные отображения

Рассмотренные до сих пор алгоритмы нелинейного преобразования строились с целью уменьшения размерности и улучшения разделимости без изменения локальной структуры исходных данных. Эти данные мы стремились отобразить в пространство наименьшей возможной размерности. Теперь мы рассмотрим случай, когда размерность пространства признаков выбирается равной 2. Это условие дает возможность отображения данных на экране индикатора. Двумерный индикатор (дисплей) — это основной элемент систем для анализа данных в режиме диалога.

10.3.1. Сохранение расстояний.

Построим нелинейное отображение из -мерного пространства в двумерное пространство таким образом, чтобы, насколько это возможно, сохранить неизменными расстояния между объектами. Пусть и — расстояния между объектами и соответственно в и двумерном пространствах:

где — векторы в и двумерном пространствах, и — их координаты. Тогда суммарная ошибка с учетом нормирующего множятеля будет равна

Для того чтобы получить оптимальное в смысле сохранения расстояния отображение, найдем минимум (10.70) по Метод наискорейшего спуска приводит к следующему рекуррентному уравнению для

где — настраиваемый параметр.

Пример 10.5. Описанный выше алгоритм применялся для индикации множества четырехмерных объектов, в которые входили объекты трех классов [Сэммон, 1969]. Из каждого класса было взято по 50 объектов.

Рис. 10.13. Двумерное отображение данных в примере 10.5 [Сэммон, 1960].

Двумерное отображение данных показано на рис. 10.13. Один из классов хорошо отделяется, а два других немного перекрываются.