3.1.3. Критерий Неймана — Пирсона.
Критерий Неймана — Пирсона следует из третьей формулировки задачи проверки гипотез. Вспомним, что в задаче проверки гипотез для двух классов можно совершить два типа ошибок. Как и ранее, обозначим вероятность ошибки каждого типа через 
и 
соответственно. Решающее правило Неймана — Пирсона представляет собой решающее правило, минимизирующее вероятность ошибки при условии, что вероятность ошибки 
равна некоторой величине, например, 
. Для определения этого решающего правила необходимо найти минимум выражения
где 
— множитель Лагранжа. Подставляя значения вероятностей ошибки 
и 
из (3.7) в (3.20), получим
Используя те же рассуждения, что и при выводе решающего правила (3.17) из соотношения (3.16), приходим к заключению, что риск 
можно минимизировать путем выбора областей 
и
следующим образом:
или
Сравнивая решающие правила (3.23) и (3.18), можно заключить, что критерий Неймана — Пирсона не предлагает нового решающего правила, а основан на критерии отношения правдоподобия, как байесовский критерий. Однако предыдущее рассмотрение показало, что критерий отношения правдоподобия является критерием, минимизирующим вероятность ошибки решения для одного класса. При этом вероятность ошибки для другого класса остается неизменной.
При данной вероятности ошибки во порог 
есть решение уравнения
Если использовать гтлотпость вероятности отношения правдоподобия, то уравнение для вычисления порога 
имеет вид
Так как плотность вероятности 
то вероятность ошибки 
, определяемая выражением (3.25), является монотонной функцией относительно 
Иначе говоря, когда порог 
увеличивается, вероятность ошибки уменьшается. Поэтому после вычисления значений 
для нескольких значений порога 
можно найти такое 
которому соответствует значение 
равное 
Однако получить точное решение уравнения (3.25) нелегко.
Пример 3.2. Рассмотрим двумерное нормальное распределение при 
. Из выражепий (3.11) и (3.23) следует, что решающие границы можно выразить следующим образом:
Эти границы представляют собой линии, параллельные оси 
Соответствующие вероятности ошибки 
приведены в табл. 3.1. Например, если мы хотим сохранить 
равным 0,09, то, как видно из этой таблицы, 
должно быть равно 
и решающая граница пройдет через точку 