6.4.2. Плотность вероятности в случае двоичных переменных.
Известно, что в случае, когда каждая из 
переменных может принимать лишь значения + 1 или —1, плотность вероятности может быть представлена линейной комбинацией из 
независимых базисных функций:
Плотность вероятности 
в этом случае задается конечной таблицей (табл. 6.4).
Таблица 6.4. (см. скан) Табличное задание плотности вероятности в случав двоичных переменных
Как и в общем случае, трудно указать универсальную процедуру выбора 
базисных функций. Существует, однако, система базисных функций, которая часто используется [Ито, 1968]. Эта система имеет вид
Система функций 
является полной системой,
ортонормированной с весом
т. е.
Числа 
— являются свободными параметрами, которые должны лежать в диапазоне 
а коэффициенты разложения 
вычисляются следующим образом:
Хорошо известны два частных случая приведенного выше разложения.
Функция Уолша. Выбирая 
получим следующую систему базисных функций:
с весовой функцией
Эта система базисных функций известна под названием функций Уолша и часто применяется для разложения двоичных функций.
Разложение Бахадура. Введем следующее преобразование:
т. е. значения 
соответствует значениям 
Пусть 
— вероятность того, что 
Тогда математическое ожидание и дисперсия у равны:
Если выбрать 
следующим образом:
то базисные функции (6.108) принимают вид
где
т. е. 
— случайные величины, полученные в результате нормализации случайных величин
С другой стороны, весовая функция (6.109) принимает вид
Если случайные величины 
взаимно независимы, то 
Таким образом, можно искать разложение 
в виде
где первый член к 
равен 
в предположении независимости случайных величин 
а остальные члены, стоящие в квадратных скобках, вносят коррекцию в случае, когда предположение о независимости не выполняется. Коэффициенты 
вычисляются следующим образом:
Таким образом, разложение (6.122) принимает вид
где 
— коэффициенты корреляции соответствующих переменных:
Это разложение называется разложением Бахадура [Бахадур, 1967]. Из этого разложения видно влияние корреляции на точность аппроксимации плотности вероятности. Поскольку коэффициенты корреляции высокого порядка, как правило, меньше, чем коэффициенты корреляции низкого порядка, можно ограничиться разложением с приемлемым числом членов и получить 
этом достаточную точность.
Рис. 6.5. Пример для вычисления разложения Бахадура.
Пример 6.3. Вычислим разложение Бахадура для данных, приведенных на рис. 6.5. Базисные и весовые функции получаются одинаковыми для обеих плотностей 
Выборочные коэффициенты корреляции 
и между 
для 
различны и вычисляются следующим образом:
Подставляя полученные значения в (6.124), имеем
