3.2.2. Независимые случайные величины.

Если случайных координат вектора X независимы, то плотность вероятности X можно выразить как произведение плотностей вероятности отдельных координат:

Поэтому величина будет равна

где

Из (3.40) следует, что случайная величина представляет собой сумму случайных величин . В соответствии с центральной предельной теоремой, по мере увеличения , плотность вероятности решающего правила

независимо от плотностей вероятности стремится к нормальному распределению. Следовательно, можно приближенно по формулам (3.35) и (3.36) вычислить вероятности ошибки, если предварительно определить математическое ожидание и дисперсию решающего правила

Поскольку параметры являются функциями одной случайной величины то вычисление этих параметров, как правило, осуществляется относительно просто, даже если распределения отличаются от нормального.

Когда мало и центральная предельная теорема неприемлема, можно вычислить плотность вероятности" решающего правила а затем и вероятности ошибки, воспользовавшись характеристической функцией. Если решающее правило представимо в виде (3.40), то характеристическая функция решающего правила равна произведению характеристических функций решающих правил т. е.

где

Используя абсолютные значения и фазовые углы этих комплексных функций получим

Таким образом, после вычисления абсолютного значения по формуле (3.45) и фазового угла по формуле можно определить

Если известна характеристическая функция решающего правила то плотность вероятности равна обратному преобразованию Фурье (с точностью до знака ):

С другой сторопы, из (3.8) и (3.9) имеем выражения для вероятности ошибки:

где

Интегрирование выражении (3.48) и (3.49) можно произвести в частотной области. С помощью известного свойства преобразования Фурье получим, что

где действительная и мнимая части выражения являются соответственно четной и нечетной функциями. Из выражений (3.44) и (3.45) следует, что поэтому соотношение (3.51) можно привести к виду

В большинстве приложений интегрирование в (3.52) следует осуществлять численными методами, даже если характеристическая функция может быть получена в явном виде. Поскольку интеграл является одномерным, то такое интегрирование осуществимо.