5.3.2. Порядковые статистики.

В этом разделе приводится краткое рассмотрение порядковых статистик. Эти статистики имеют важное значение в теории статистического вывода, в частности из-за того, что некоторые их свойства не зависят от распределения генеральной совокупности.

Предположим, что наблюдаемые объекты являются одномерными. Можно упорядочить эти объекты по величине и

определить новые случайные переменные у следующим образом:

где величина равна наименьшему значению среди объектов величина является вторым наименьшим значением и т. д. Тогда совместная плотность вероятности случайных величин будет равна

где все — независимые случайные величины.

Соотношение (5.95) можно легко получить, рассматривая простой пример при этом случае одному набору значений соответствует шесть наборов значений т. е.

Якобианы каждого из этих шести преобразований равны 1. Например, для второй строки якобиан

а . Следовательно,

Для упрощения обсуждения выполним следующее преобразование. Пусть определяется выражением

где — функция распределения вероятностей случайной

величины у. Тогда плотность вероятности величины будет равна

Совместную плотность вероятности (5.95) можно выразить как функцию величин следующим образом:

где порядок вели тот же, что и порядок величин в силу монотонности фукции распределения (5.99).

Маргинальная плотность вероятности для (5.101) вычисляется следующим образом:

Далее рассмотрим получение доверительных интервалов для случая упорядоченных выборок. Определим квантиль порядка следующим образом:

Например, когда х — отношение правдоподобия и — его пороговое значение, то соответствует вероятности ошибки. Вероятность того, что порядковая статистика меньше, чем квантили порядка будет равна

Используя (5.102), получим

Произведя интегрирование этого выражения по частям, найдем

Этот результат можно получить, не используя понятия порядковой статистики. Предположим, что извлечено независимых объектов, для каждого из которых имеет место (5.103). Тогда

вероятность того, что объектов удовлетворяют условию объектов не удовлетворяют этому условию, определяется выражением объектов удовлетворяют условию

С другой стороны, выражение озпачает, что или больше объектов удовлетворяют условию Поэтому вероятность является суммой вероятностей (5.107) для к и равна вероятности (5.106).

Коль скоро вероятность пайдена в аналитическом виде (5.106), можно вычислить доверительный интервал для квантили порядка

Конкретизируя значения можно вычислить коэффициент доверия у с помощью выражений (5.106) и (5.108). Следовательно, доверительный интервал для с коэффициентом доверия у определяется объектами с порядковыми номерами и

Описанный метод построения доверительных интервалов не требует знания плотности вероятности и в связи с этим получил название методу не зависящий от распределения.

Пример 5.5. Пусть имеется выборка из четырех объектов. Вычислим коэффициент доверия для квантилей порядка 0,5 между наибольшим и наименьшим объектами. Из выражений (5.106) и (5.108) имеем

Таким образом, гарантия того, что квантиль попадет в интервал между составляет 87,5%.