5.2.4. Выпуклые и симметричные функции штрафа.

Выражение (5.60) показывает, что оценка, минимизирующая среднеквадратичную ошибку, является вектором математического ожидания апостериорной плотности вероятности. Этот же факт может быть установлен для широкого класса функций штрафа, когда апостериорная плотность вероятности являбтея симметричной функцией.

Предположим, что функция штрафа является симметричной выпуклой, т. е.

и

Кроме того, предположим, что апостериорная плотность

вероятности является симметричной функцией относительно условного математического ожидания, т. е.

где

Тоща условный риск, который требуется минимизировать (см. (5.57)), определяется выражением

С учетом предположения (5.71) о выпуклости функции штрафа имеем

Это равенство выполняется, если

Поэтому выражение (5.76) является оценкой, которая минимизирует байесовский риск для выпуклых и симметричных функций штрафа. Эта оценка представляет собой вектор математического ожидания апостериорной плотности вероятности параметра