8.4.3. Доминирующие собственные значения.

В этом разделе мы рассмотрим задачу оценивания доминирующих собственных значений и собственных векторов. Вычисление только доминируй ющих собственных значений и собственных векторов является очень эффективным, так как во многих задачах распознавания образов число доминирующих собственных значений и собственных векторов мало по сравнению с исходной размерностью. Эта задача уже рассматривалась в разделе, посвященном определению размерности; здесь мы рассмотрим другой метод ее решения.

Предположим, что нам каким-то образом известно, что число доминирующих собственных значений не превосходит Разделим выборочных векторов на групп по векторов в каждой группе . Для группы можно сформировать матрицу данных размерностью (см. пример 2.20) и вычислить собственных векторов и собственных значений матрицы имеющей размерность . Если Фтхт и Мпхт — матрицы этих собственных векторов и собственных значений, то из (2.169) — (2.175) следует, что в качестве оценок доминирующих -мерных собственных векторов и собственных значений можно принять и

Более точными оценками и являются средние арифметические этих оценок

Чтобы быть уверенными, что все доминирующие собственные значения включены в эти собственных значений Лтхт, покажем, что

где выборочная корреляционная матрица, вычисленная по точкам, а след равен сумме всех собственных значений матрицы Из (8.114) и (2.172) имеем:

ПРИЛОЖЕНИЕ 8.1

Вычисление

Вспоминая, что

имеем

где

Если правую и левую части возвести в квадрат и взять математическое ожидание, то в результате будем иметь

так как случайные величины независимы. Далее

и можно переписать в виде

Второй индекс у опущен, так как все распределены одинаково.

Последний член в можно вычислить, если известна производящая функция случайного вектора X, Совместная производящая функция у и имеет вид

где — производящая функция X. Отсюда следует, что

Если X подчиняется многомерному нормальному распределению с вектором математического ожидания М и корреляционной матрицей то

Комбинируя получим

где определено в (8.108).