Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА

В последующих главах часто будут использоваться свойства случайных векторов и приемы линейной алгебры. Обзор необходимых по этим разделам сведений содержится в данной главе. Читатель, знакомый с теорией вероятностей, математической статистикой и линейной алгеброй, может эту главу пропустить.

§ 2.1. Случайные векторы и их распределение

2.1.1. Функция распределения и плотность вероятности.

Как отмечалось в главе 1» входом системы распознавания образов является случайный вектор

где — знак транспонирования. Случайные векторы можно полностью охарактеризовать функцией распределения вероятностей, которая определяется следующим образом:

Определение. Совместная функция распределения вероятностей вектора X определяется выражением

где — вероятность события А. Для удобства выражение (2.2) часто будет записываться в виде

Совместная функция распределения вероятностей является монотонной, неубывающей функцией по каждому из аргументов. Кроме того, из определения следует, что

и

Пример 2.1. Положим, что двумя случайными величинами являются высота и вес студентов колледжей США. Тогда Р (5,5 футов, 160 фунтов) есть отношение числа студентов, для которых высота и вес меньше или равны соответственно 5,5 футам и 160 фунтам, к общему числу студентов (см. рис. 2.1)

Рис. 2.1. Функция распределения вероятностей и плотность вероятности.

Определение. Совместная плотность вероятности вектора X определяется

Это определение представляет собой прямое обобщение одномерного случая, где

Обратно, функцию распределения вероятностей можно выразить через плотность вероятности следующим образом:

где сокращенное обозначение -кратного интеграла.

Для вычисления вероятности совместная плотность вероятности должна быть умножена на объем (или (см. рис. 2.1 и связанный с ним пример 2.1).