§ 3.2. Вероятность ошибки при проверке гипотез

Любое решающее правило характеризуется вероятностью ошибки. Вероятность ошибки представляет собой наиболее эффективный критерий применимости данного правила. Однако вычисление обычно является достаточно трудоемким процессом, хотя само понятие вероятности ошибки чрезвычайно простое. Для того чтобы оценить вероятность ошибки по формулам (3.6) и (3.7), нужно взять -мерные интегралы. С другой стороны, если мы хотим вычислить вероятность ошибки по формулам (3.8) и (3.9), то нужно знать плотность вероятности отношепия правдоподобия. В общем случае ни один из этих способов не позволяет непосредственно вычислить вероятность ошибки. Поэтому при решении мпогих практических задач применяют те или иные экспериментальные методы, например, такие, как моделирование

с помощью метода Мойте — Карло или метод нахождения границы вероятности ошибки, который будет рассмотрен в следующем параграфе.

3.2.1. Линейные границы.

В случае нормальных распределений с равными ковариационными матрицами величина — как следует из (3.11), становится линейной функцией относительно вектора X. Поскольку решающее правило (3.11) представляет собой линейное преобразование -мерного пространства в одномерное, то если X является нормально распределенным случайным вектором, решающее правило также будет нормальной случайной величиной.

Рис. 3.5. Плотность вероятности решающего правила где

Поскольку то математическое ожидание и дисперсию можно вычислить следующим образом:

Последнее соотношение имеет место в силу того, что, как было показано в (2.28),

На рис. 3.5 для классов изображены плотности вероятности решающего правила причем заштрихованные

площади соответствуют вероятностям ошибки, обусловленным байесовским критерием, который минимизирует ошибку решения. Эти вероятности ошибок соответственно равны

где

Таким образом, если плотность вероятности отношения правдоподобия является нормальной, то вероятности ошибки можно вычислить, пользуясь таблицей интеграла вероятности или функции ошибок так как отношение правдоподобия — одномерная нормальная случайная величина