5.3.3. Толерантные пределы для распределений.

В методе доверительного интервала вычислялась вероятность того, что случайный интервал содержит определенную точку. Другой довольно близкий подход заключается в использовании следующего уравнения:

Другими словами, случайный интервал имеет вероятность содержать по меньшей мере вероятности распределения х. Величины у, и называют 100%-процентными толерантными пределами дляраспределениях на уровне у.

Уравнение (5.110) можно решить следующим образом:

где — совместная плотность вероятности величин которую можно получить интегрированием выражения (5.101), подобно тому, как производилось интегрирование для определения плотности вероятности в (5.102). Однако можно вычислить вероятность к более простыл! способом, если ввести понятие «доля» для случайного интервала.

Рассмотрим следующее преобразование величин

Величину называют долей для случайного интервала , так как

Поскольку преобразование (5.112) взаимно однозначное и его якобиан равен единице, то из выражения (5.101) следует, что совместная плотность вероятности будет равна

в противном случае. 4

Смысл введения понятия «доля» состоит в том, что не требуется, чтобы величины удовлетворяли условию упорядочения Поэтому совместная плотность вероятности является симметричной функцией относительно аргументов Это означает, что справедливо следующее соотношение:

с учетом которого выражение (5.111) примет вид

Уравнение (5.116) уже не является интегралом от совместной плотности вероятности и а представляет собой интеграл от маргинальной плотности вероятности которая найдена в (5.102). Поэтому

Пример 5.6. Пусть имеется четыре выборочных объекта Определим вероятность к того, что в интервале между наибольшим и наименьшим объектами содержится по меньшей мере 50% вероятности для распределения х.

Подставляя значения в формулу (5.117), получим