2.4.5. Обращение матриц.

Диагонализацшо матриц особенно полезно проводить при вычислении обратной матрицы.

Пример 2.22. Из соотношения (2.54) следует, что функция расстояния может быть представлена в следующем виде:

Если имеется два распределения, то могут быть получены две функции расстояния с помощью процедуры одновременной диагояалмзации

Пример 2.23. Покажем, каким образом матрица, обратная к автокорреляционной матрице, может быть выражена через ковариационную матрицу и вектор математического ожидания. Из выражения (2.30) имеем

Используя для дйагонализации матрицы ортонормированное преобразование, получим, что

где определено выражениями (2.100) и (2.107). Поэтому

Рассматривая совместно выражения (2.180), (2.181) и (2.182), получим

Если мы хотим выразить через то можно воспользоваться соотношением

или

Пример 2.24. Рассмотрим один из методов вычисления матрицы, псевдообраткой к вырожденной матрице. Пусть — вырожденная матрица раига тогда можно выразить через собственные числа и собственные векторы следующим образом:

Если обозначить

то

Поэтому — матрица, обратная к матрице в подпространстве, образованном собственными векторами. Матрица удовлетворяет условию

Пример 2.25. Уравнение (2.189) подсказывает общий путь для определения матрицы, обратной к вырожденной матрице [Пенроуз, 1955]. Обобщенной обратной матрицей по отношению к вырожденной матрице размера и ранга является матрица размера удовлетворяющая условиям

Векторы-столбцы матрицы являются собственными векторами матрицы размера ту из которых линейно независимы и имеют собственные значения, равные 1. Остальные собственных значений матрицы равны нулю. Матрица обладает свойствами матрицы проекционного преобразования и часто используется в задачах линейного регрессионного анализа [Дейч, 1963].

Частный вид матрицы применяется наиболее часто. Пусть В — матрица размера столбцы которой являются линейно независимыми столбцами матрицы Тогда матрицу можно представить следующим образом:

Так как — невырожденная матрица размера то матрицу С можно вычислить с помощью соотношения

Из выражения (2.193) видно, что матрица С имеет ранг поэтому матрица будет невырожденной матрицей размера

Псевдообратная матрица определяется выражением

Можно показать, что матрица удовлетворяет условию (2.190) и является поэтому обобщенной обратной матрицей. Такая матрица является единственной [Пенроуз, 1955]. Заметим, что псевдообратная матрица наиболее часто используется в качестве обобщенной обратной матрицы.