2.1.2. Условные плотности вероятности.

В задачах распознавания образов наиболее часто встречаются два вида условных плотностей вероятности. Они различаются типами событий, от которых зависит случайный вектор.

Условная плотность вероятности при фиксированном случайном событии.

Определение. Условная функция распределения вероятностей вектора X при фиксированном событии со определяется следующим образом:

где — условная вероятность события А, определенная в предположении, что произошло событие В. Эта вероятность равна

где — совместное событие А и В.

Определение. Условная плотность вероятности вектора X при фиксированном событии со определяется следующим образом:

Теорема. Предполоэюим, что достоверное событие состоит из независимых событий . Тогда безусловная плотность вероятности вектора X имеет вид

Здесь используется вместо

Доказательство теоремы рекомендуется выполнить самому читателю в качестве упражнения.

Пример 2.2. Пусть — событие, состоящее в том, что объект принадлежит -классу, Пусть, далее, случайный вектор X представляет собой множество из измерений этого объекта. Условная плотность вероятности играет существенную роль в теории статистической проверки гипотез.

Если известна априорная вероятность каждого класса то

В настоящей книге иногда будет называться смесью плотностей вероятности. На рис. 2.2 показан пример

У слоеная плотность вероятности при фиксированной случайной «величине.

Определение. У слоеная плотность вероятности вектора X при фиксированном значении случайного вектора определяется выражением

Ясно, что (2.14) является частным случаем условной плотности вероятности, определенной выше. Здесь событие заменено событием

Рис. 2.2. Смесь плотностей вероятности.

Легко показать, что можно выразить в более удобном виде

где — совместная плотность вероятности всех компонент векторов X и которая, кроме того, может быть записана как

Выражение представляет собой маргинальную плотность вероятности вектора и получается интегрированием совместной плотности вероятности

Пример 2.3. Если в качестве исходной информации для оценки распределения вектора X имеются лишь предварительные

наблюдения то условная плотность вероятности вектора X определяется выражением

Так как каждое наблюдение имеет компонент, то в

Теорема. Условные плотности вероятности связаны между собой следующим образом:

Это теорема Байеса, которая легко доказывается, если в выражении (2,15) поменять местами X и Теорема Байеса играет важную роль в теории оценивания. Замена событием даег следующее обобщение этой теоремы;

Это соотношение является основным в теории проверки гипотез.

Пример 2.4. Положим, что — две случайные величины, а условная плотность вероятности х при фиксированном есть

Далее положим, что маргинальное распределение случайной величины является нормальным с математическим ожиданием то и дисперсией . Условную плотность вероятности случайной величины при фиксированном х можно вычислить с помощью теоремы Байеса следующим образом;

Часто условную плотность вероятности называют апостериорной плотностью вероятности случайной величины т. Эту плотность используют для оценивания величины по наблюдениям х.

Плотности вероятности, зависящие от неслучайных параметров.

Иногда можно выразить в явной форме зависимость плотности вероятности случайного вектора X от неслучайного вектора параметров Обозначим такую зависимость через Вектор 0 является неслучайным вектором, однако его значение может быть неизвестно.

Пример 2.5. Пусть х — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием т. Тогда можно записать плотность вероятности х в виде

Этот тип плотности вероятности играет важную роль в задаче оценивания неслучайных параметров.