8.4.1. Определение размерности.

В этом разделе мы рассмотрим процедуру для определения числа выборочных точек и, представляющих случайный процесс в дискретные моменты времени.

Начнем с простого примера. Пусть наблюдается при четырех значениях и как показано сплошными вертикальными линиями на рис. 8.4, а.

Рис. 8.4. Реализация случайного процесса и собственные значения

Тогда корреляционная матрица имеет четыре собственных значения, показанных сплошными линиями на рис. 8.4, б. Удвоим число наблюдений, добавив наблюдения в моменты времени и Теперь имеет восемь собственных значений, как показано пунктиром на рис. Признаки, соответствующие первым четырем собственным значениям, — это, по существу, те же самые признаки, которые были получены в случае четырех наблюдений. Остальные четыре признака появились в результате удвоения числа наблюдений. Если собственные значения, соответствующие новым признакам, малы, то ошибка, совершаемая за счет выбрасывания признаков, также будет малой. Если новые признаки несущественны, то признаки, полученные при четырех наблюдениях, адекватно представляют случайный процесс

Пусть в общем случае мы имеем наблюдений. Тогда размерность корреляционной матрицы равна Если сумма некоторых из собственных значений матрицы мала по сравнению с суммой всех собственных значений, можно считать, что для представления случайного процесса достаточно точек. Однако вычисление собственных значений требует значительного времени.

Для получения более простого критерия выбора используем результаты теории возмущений из гл. 2. Пусть элементы -мерного вектора признаков упорядочепы таким образом,

что

Тогда матрицу можно представить в виде

При больших матрицы почти равны. Запишем в виде

Теперь, если вектор

является собственным вектором матрицы то

является собственным вектором матрицы Так как матрица при больших мала, то в соответствии с (2.205) собственные значения матрицы приближенно равны диагональным: элементам матрицы

где

и

Определим критерий следующим образом:

Тогда приближенно равно отношению суммы наименьших. собственных значений матрицы к сумме всех собственных значений. Если то наблюдений достаточно, и предположение о малости обосновано. Используя выражения (8.87), (8.89) и ортогональность собственных векторов можно переписать критерий следующим образом:

С учетом (8.81) и (8.82) можно выразить через значения корреляционной функции случайного процесса

Частный случай: стационарный процесс Для стационарного процесса

и

Поэтому

Пример 8.4. Вычислим критерий по формуле (8.93) для . В этом случае

Если то это означает, что три собственных значения матрицы очень малы по сравнению с остальными тремя. Таким образом, вряд ли можно рассчитывать, что дальнейшее увеличение даст нам дополнительную информацию о случайном процессе

Пример имеет треугольную форму:

Если

Результат, полученный в этом примере, полезен в тех случаях, когда можно предполагать наличие стационарности, по корреляционная функция неизвестна. Мы предполагаем, что имеет треугольную форму, и используем минимальную по величине оценку Т.