3.5.2. Реализация последовательного критерия Вальда.

Имеются две оценочные функции, которые используются при реализации последовательного критерия Вальда. Одной из них является среднее число наблюдений, необходимых для принятия решения, другая характеризует работу критерия: эта функция показывает, насколько хорошо достигается цель проверки, которая состоит в принятии правильного решения, даже если истипное значение неизвестного параметра отличается от предполагаемого значения.

Пусть к — число наблюдений, необходимых для достижения верхнего или нижнего значения порога (k — случайная величина). Введем новую случайную величину

Величина связана с параметрами выражением (3.133) следующим образом:

Поэтому

Так как — случайная величина, то

где независимо от равно Таким образом, среднее

число наблюдений, необходимых для принятия решений, будет равно

Пример 3.6. Рассмотрим пример с нормальным распределением. Из выражений (3.129) и (3.10) следует, что

Вычислим для условные математические ожидания:

Значения вероятностей ошибки можно выбрать по нашему усмотрению, а затем определить значения которые сведены в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Среднее число наблюдений

Для того чтобы определить число наблюдений, необходимых для принятия решений, рассмотрим случай одномерных распределений с равными дисперсиями. В этом случае выражения (3.155) и (3.156) примут вид

Если положить при наблюдении одного объекта то имеется сильное «перекрытие» распределений, характеризуемое

вероятностью ошибки Однако вероятности ошибки в и могут достичь величины порядка за счет увеличения среднего числа наблюдений до объектов. Если размерность объектов увеличивается, то величина становится больше, так как она содержит сумму из расстояний. Таким образом, понятно, как можно добиться значительного уменьшения вероятности ошибки за счет использования относительно небольшого числа наблюдений.

Последовательный критерий Вальда часто зависит лишь от ряда параметров, характеризующих при каждой гипотезе плотность вероятности наблюдаемых объектов. Если некоторые из этих параметров изменяются после того, как критерий сконструирован, то результаты его применения также изменятся.

Опишем это изменение количественно. Предположим, что проверяемые объекты принадлежат классу с параметрами или классу с параметрами Тогда последовательное решающее правило Т имеет вид

Необходимо оценить эффективность этого решающего правила, если класс характеризуется вектором параметров а не

Перепишем решающее правило Т следующим образом:

Поскольку числитель выражения (3.159) сокращается с сомножителем знаменателя, а оставшиеся члены (3.159) определяют неравенство, эквивалентное неравенству (3.158), то соотношение (3.159) в точности совпадает с (3.158). Кроме тою, решающее правило (3.159) можно рассматривать как последовательное решающее правило Т для проверки гипотезы о), характеризуемой параметрами против гипотезы о), характеризуемой плотностью вероятности

Предположим теперь, что гипотеза о) верна. Тогда, поскольку решающее правило Т является последовательным критерием Вальда, можно использовать выражения (3.136) и (3.145) для вычисления вероятности того, что решающее правило отклоняет гипотезу со:

Но так как решающие правила (3.158) и (3.159) эквивалентны то любая последовательность наблюдаемых объектов, которая приводит на некотором шаге к отклонению решающим правилом Т гипотезы , также приводит на том же шаге к отклонению решающим правилом Т класса Поэтому вероятность определяемая выражением (3.160), также является вероятностью того, что класс отклоняется решающим правилом Т, если верна гипотеза о. Так как согласно предположению решающее правило Т должно принять класс если верна гипотеза о), является вероятностью ошибки.

Предыдущие рассуждения справедливы, если является плотностью вероятности. Поэтому должно выбираться: из условия

В работе [Вальд, 1947] показано, что такое существует и единственно.

Если вектор параметров равен или то для выполнения: условия (3.161) величина должна быть равна или Поэтому из выражения (3.160) следует, что

Таким образом, представляет собой вероятность ошибки в том случае, когда при фиксированном решающем правиле изменяется ряд параметров распределений классов. Величину ййзывают оперативной характеристикой последовательного критерия Вальда.

Как правило, нелегко определить величину путем решения уравнения (3.161), однако для некоторых частных случаев возможно вычислить как это сделано в следующем примере.

Пример 3.7. Рассмотрим случай нормального распределения с равными и фиксированными ковариационными матрицами: Тогда, если вместо использовать величину условие (3.161) примет вид

Для того чтобы удовлетворить условию (3.164), показатель степени экспоненциальной функции должен быть равен нулю. Поэтому

Таким образом, для данного можно легко вычислить величину и затем вероятность ошибки по формуле