3.2.3. Вероятность ошибки для нормальных случайных векторов X.

Если распределения являются нормальными, то всегда можно определить линейное преобразование, одновременно приводящее к диагональному виду две ковариационные матрицы. Поэтому в преобразованной системе координат всегда будет выполнено предположение о независимости случайных векторов. Кроме того, вероятности ошибки инвариантны относительно любого преобразования, так как отношение правдоподобия не зависит от выбора системы координат.

Пусть — соответственно векторы математического ожидания и ковариационные матрицы классов и для нового случайного вектора полученного в результате данного преобразования. Решающее правило (3.10) в преобразованной системе координат примет вид

где компонента вектора математического ожидания Следовательно, решающее правило и характеристическая функция будут равны

где

Абсолютное значение и фазовый угол характеристической функции (3.55) имеют следующий вид:

Характеристическая функция

где

Соотношение (3.61) совпадает с (3.55), если заменить на Поэтому с точностью до этих параметров абсолютные значения и фазовые углы характеристических функций совпадают.

Таким образом, если распределения являются нормальными, то вероятности ошибки можно вычислить следующим образом [Фукунага, Крайл, 1969].

1) Для одновременной диагонализации ковариационных матриц классов применить линейное преобразование.

2) Для классов по формулам (3.55) и (3.61) вычислить характеристические функции решающего правила

3) Вычислить вероятности ошибки по формулам (3.48), (3.49) и (3.52). (Эта процедура заключается в одномерном численном интегрировании для получения вероятностей ошибки каждого класса.)

Если то матрица близка к единичной матрице а параметры и близки к 0. В этом случае характеристические функции примут вид

Величины представляют собой характеристические функции нормальных распределений, математические ожидания и дисперсии которых соответственно равны

Правые части каждого из приведенных соотношений являются функциями расстояния, измеренного в исходной системе координат. Эти выражения совпадают с формулами (3.32) — (3.34).

Если ковариационные матрицы и достаточно различаются между собой, то все же можно получить грубую аппроксимацию вероятности ошибки, предполагая, что решающее правило имеет нормальное распределение. Так как характеристические функции известны, то можно вычислить математическое ожидание и дисперсию этого распределения:

Эти же величины можно выразить через собственные значения и

Подставляя эти выражепия в формулы (3.35) и (3.36), можно грубо оценить вероятности ошибки. Поэтому моменты более

Таблица 3.2. Стандартные данные после одновременной диагоиализащш ковариационных матриц

сокого порядка также можно определить по характеристической функции.

Теоретически возможно улучшить аппроксимацию с помощью полиномиальных рядов Эрмита, коэффициенты которых являются функциями моментов случайных величии [Фишер, 1923; Папулис, 1965].

Таблица 3.3. Сравнение вероятностей ошибки [Фукунага, Крайл, 1969]

Однако эксперименты показывают, что если не все собственные значепия близки к 1, то сходимость этих рядов

очень медленная, и для того, чтобы ее ускорить, требуется большое количество моментов высокого порядка.

Пример 3.3. Рассмотрим стандартные даппые параметры которых после преобразования приведены в табл. 3.2. Как видно из этой таблицы, собственные значепия распределены в достаточно большом диапазоне (от 12,06 до 0,12).

Рис. 3 6. Плотность вероятности решающего правила [Фукунага, Крайл, 1969].

В предположении, что априорные вероятности плотности вероятности решающего правила для классов вычисляются по формуле (3.47) и показаны на рис. 3.6. Как видно из этого рисунка, кривые отклоняются от кривой плотности нормального распределения. В табл. 3.3 показано различие между точно вычисленными значениями вероятностей ошибки по формулам (3.48), (3.49) и (3.52) и приближенными расчетами с использованием аппроксимации решающего правила нормальным распределением с параметрами, определенными по формулам (3.74) — (3.77).