§ 5.3. Интервальное оценивание

В предыдущих параграфах рассматривалась задача оценивания, т. е. определение хороших оценок набора параметров по имеющейся выборке. Вычислялись дисперсии этих оценок, однако специально не обсуждалась их статистическая достоверность. В этом параграфе будет рассмотрен вопрос определения

вероятности того, что оцениваемые величипы находятся внутри выбранной области. Эту задачу называют интервальным оцениванием.

5.3.1. Доверительная область.

Рассмотрение этого вопроса начнем с оценивания математического ожидания одномерного нормального распределения с известной дисперсией Оценка выборочного среднего значения определенная по наблюдениям, является случайной величиной, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией т. е.

Поэтому, когда в соответствии с этим распределением извлекается большое число выборок по объектов и вычисляются оценки то около 95% значений будет находиться в интервале между т. е.

Выражение (5.78) можно переписать следующим образом:

Это выражение читают так: «вероятность того, что случайный интервал содержит математическое ожидание равна 0,95». Этот случайный интервал называют -ным доверительным интервалом для неизвестного параметра Величины представляют собой соответственно коэффициент доверия, верхний и нижний доверительные пределы. Из этого примера следует, что для того, чтобы определить случайный интервал с заданным коэффициентом доверия, необходимо знать плотность вероятности оценки и проинтегрировать ее, как это сделано в (5.78).

Аналогичным образом можно ввести доверительные интервалы в случае многих параметров. Снова предположим, что распределение наблюдаемых объектов X — нормальное с неизвестным вектором математического ожидания М и известной ковариационной матрицей выборочный вектор среднего значения М также имеет нормальное распределение с вектором математического ожидания М и ковариационной матрицей Поэтому

плотность вероятности вектора М будет равна

В этом случае доверительная область должна выбираться в соответствии с

при условии

На рис. 5.1 изображена эта многомерная доверительная область.

Соотношение (5.81) всегда можно представить в виде

выполнив декоррелирующее преобразование. Поэтому, когда вектор М имеет нормальное распределение, то также будет иметь нормальное распределение. Следовательно, плотность веротности величины имеет -распределение с степенями свободы:

Коэффициент доверия у и верхний доверительный предел а (5.82) связаны через плотность вероятности

Рис. 5.1. Многомерная доверительная область.

Рассмотрим случай одномерного нормального распределения с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией . В качестве их оценок используем выборочное среднее и выборочную дисперсию:

Плотность вероятности новой случайной величины

известна как плотность вероятности распределения Стъюдента с степенями свободы, и выражается следующим образом;

На основании (5.87) можно найти соотношение между верхним и нижним доверительными пределами и коэффициентом доверия

или

Уравнение (5.89) позволяет определить по наблюдениям доверительный интервал для математического ожидания без знания истинных значений параметров

Для этого одномерного случая также можно вычислить доверительный интервал дисперсии случайной величины, имеющей нормальное распределение. Опять предположим, что математическое ожидание и дисперсия неизвестны, и используем выборочное среднее и выборочную дисперсию в качестве их оценок. Определим новую случайную величину

Хорошо известно, что эта величина имеет -распределение с степенями свободы:

Поскольку в плотность вероятности (5,91) в явном виде не входят параметры то можно определить по наблюдениям доверительный интервал по формуле:

или