5.1.4. Достаточная оценка.

Определение достаточной оценки дано формулой (5,6). Однако довольно сложно проверить, что оценка удовлетворяет условию (5.6). Поэтому введем более удобный критерий проверки достаточности.

Теорема (теорема факторизации). Оценка является достаточной тогда и только тогда, когда мооюно найти две неотрицательные функции к и такие, что

где не зависит от параметра

Доказательство. Сделаем преобразование

Тогда обратное преобразование

Если условие (5.34) выполняется, то совместная плотность вероятности оценок определяется выражением

где — якобиан преобразования (5.35), не зависящий от параметра Маргинальную плотность вероятности можно вычислить по формуле

где не зависит от параметра Таким образом, условную плотность вероятности оценок при фиксированной

оценке можно определить в виде

Уравнение (5.39) совпадает с (5.6), тем самым доказывая, что 0 является достаточной оценкой параметра

Обратно, если является достаточной оценкой параметра то умножая обе части (5.39) на функцию получим выражение (5.34). Это завершает доказательство теоремы.

Пример 5.3. Пусть снова, как и в примерах 5.1, 5.2, исследуется вектор выборочного среднего в случае нормального распределения. Тогда

С другой стороны, известно, что плотность вероятности вектора выборочного среднего имеет нормальное распределение с вектором математического ожидания М и ковариационной матрицей Поэтому

Проверим, будет ли отношение зависеть от М. Имеем

где

Таким образом, отношение (5.42) не зависит от М, и поэтому для нормального распределения вектор выборочного среднего является достаточной оценкой параметра М.