§ 8.3. Разложение Карунена — Лоева для случайных процессов

8.3.1. Случайные процессы и их разложение.

Так как разложение Карунена — Лоева первоначально было развито для представления случайных процессов, в этом параграфе мы применим полученные выше результаты к задаче представления случайных процессов, а также рассмотрим дополнительно некоторые характерные свойства разложения, специфические для случайных процессов.

Случайный процесс определенный во временной области , может быть представлен линейной комбинацией базисных функций

где базисные функции являются детерминированными функциями времени, а коэффициенты — случайными величинами. Чтобы образовать полную систему функций, требуется бесконечное число базисных функций Поэтому суммирование производится до Условие ортопормированности базисных функций имеет вид

где — комплексно-сопряженные функции. Если — действительная функция,

Обратная операция вычисления коэффициентов у по имеет вид

Математическое ожидание, корреляционная и ковариационная функции случайного процесса определяются следующим образом:

Для простоты предположим, что Если базисные функции являются собственными функциями они должны удовлетворять следующему интегральному

уравнению:

где — собственные значения корреляционной функции Эти уравнения являются точно такими же, как уравнения для случайных векторов.

Предположим, что мы взяли значений рассматриваемых функций в дискретные моменты времени и представили их в виде векторов следующим образом:

где каждое выборочное значение случайного процесса является случайной величиной. В таком случае, например, выражения (8.51) и (8.56) можно переписать следующим образом:

и

Для определения собственных значений и собственных векторов уравнение (8.60) можно переписать в матричной форме:

где

Так как матрица имеет размерность мы получим не бесконечное число, а только собственных значений и собственных векторов.

Чтобы минимизировать среднеквадратичную ошибку в непрерывном случае, можно следовать процедуре, аналогичной процедуре для дискретного случая. Для ортонормированных

базисных функций получим

Значение можно вычислить с помощью (8.52) следующим образом:

Поэтому, если — это собственные функции корреляционной функции то

Следовательно,

Вспоминая предположение о том, что , следовательно, мы видим, что этот результат совпадает с аналогичным результатом для дискретного варианта разложения Карунена — Лоева.

Трудность использования разложения Карунена — Лоева для непрерывного случая состоит в том, что для получения собственных значений и собственных векторов мы должны решить интегральное уравнение (8.56). За исключением очень частных случаев, решение этого интегрального уравнения не удается получить в явном виде. Поэтому для того, чтобы получить решение численными методами, мы должны вернуться к дискретному варианту, т. е. взять выборочные значения, вычислить корреляционную матрицу и найти собственные значения и собственные векторы.