2.3.4. Декоррелирующее преобразование.

После применения ортонормированного преобразования (2.104) можно воспользоваться еще одним преобразованием для того, чтобы привести ковариационную матрицу К к единичной матрице

Преобразование называют декоррелирующим преобразованием. Цель этого преобразовавия состоит в изменении масштаба главных компонент пропорционально значениям На рис. 2.5 изображен соответствующий двумерный пример.

Рис. 2.5. Декоррелирующее преобразование.

Пример 2.11. Декоррелирующее преобразование не является ортонормировании преобразованием, поскольку

Поэтому в результате декоррелнрующего преобразования евклидово расстояние не сохраняется:

Пример 2.12. Ковариационная матрица, полученная в результате декоррелирующего преобразования, инвариантна относительно любого ортонормированного преобразования, так как

Это свойство будет в дальнейшем использовано для одновременной диагонализации двух матриц.

Пример 2.13. В экспериментах по распознаванию образов часто необходимо генерировать объекты, имеющие нормальное распределение с заданными вектором математического ожидания

и ковариационной матрицей. Обычно случайные величины-признаки коррелированы, и это создает определенные трудности при генерировании объектов. Однако генерирование нормально распределенных объектов с единичной ковариационной матрицей является более простой задачей, так как случайные величины в этом случае независимы и одинаково распределены с единичной дисперсией. Поэтому предлагается вначале генерировать такие объекты, а затем осуществлять преобразование векторов в X с помощью уравнения

где Ф и — соответственно матрицы собственных векторов и собственных значений данной ковариационной матрицы.