6.1.2. Доказательство асимптотической несмещенности и состоятельности.

Покажем теперь, что при выполнении условий (6.8) — (6.13) оценка (6.6) является асимптотически несмещенной и состоятельной.

Вычислим математическое ожидание оценки (6.6):

(кликните для просмотра скана)

Для доказательства асимптотической несмещенности нужно показать, что

для любых которые удовлетворяют условиям (6.9) — (6.11) Тогда в силу условия (6.8) получим

Для точек, в которых функция непрерывна, равенство (6.15) доказывается следующим образом. Пусть — положительная константа.

Рис. 6.1. Аппроксимация плотности вероятности суммой нормальных ядер.

Разделим область интегрирования на две части Тогда

(см. скан)

Когда в соответствии с Из условий (6.9) — (6.11) следует, что второй и третий члены выражения (6.17) также стремятся к нулю. Полагая видим, что и первый член выражения (6.17) также стремится к нулю. Таким образом, равенство (6.15) доказано.

Асимптотическую несмещенность можпо увидеть также и из частотного анализа. Поскольку выражение (6.14) является интегралом свертки от характеристические функции связаны следующим образом:

Поэтому, для того чтобы

характеристическая функция должна стремиться к 1, когда число наблюдений Выражение представляет собой характеристическую функцию Это можно видеть из табл. 6.1, где все функции стремятся к 1, когда

Вычислим теперь дисперсию рассматриваемой оценки

Подставляя (6.6) в (6.19) и используя условие независимости случайных величин выражение (6.19) можно переписать следующим образом:

Из (6.15) имеем

так как, если к удовлетворяет условиям (6.9) — (6.11), то и удовлетворяет этим условиям. Подставляя (6.21) и (6.22) в (6.20), получаем

Из условий (6.9) — (6.11) следует, что иптеграл ограничен. Поэтому выражение (6.23) равно нулю, если

Таким образом, мы получили условие состоятельности. Значения интеграла характеризующие величину дисперсии, приведены в табл. 6.1.

Как видно из (6.6), оценка плотности вероятности является суммой случайных величин Поэтому при определенных условиях стремится к нормальной плотности вероятности, когда Детальное рассмотрение этого вопроса приведено в [Парзен, 1962].