Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Теорема. Если все собственные значения матрицы положительны, то является положительно определенной матрицей.
Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму
Без ограничения общности можно записать вектор X как , где Ф — любая ортонормированпая матрица. В частности, пусть Ф является матрицей собственных векторов матрицы . В таком случае
где — собственные значения матрицы Если все эти собственные значения являются положительными числами, то квадратичная форма будет принимать положительные значения, если только У не является нулевым вектором. Но из соотношения между векторами У и X следует, что квадратичная форма должна быть положительной также и для всех ненулевых векторов X. Поэтому — положительно определенная матрица.
Пример 2.15. Пусть — диагональная матрица, полученная из ковариационной или автокорреляционной матрицы в результате соответствующего ортонормированного преобразования. Тогда собственные значения являются дисперсиями, или вторыми моментами выборки. Поэтому все Я должны быть положительными числами, а ковариационная и автокорреляционная матрицы — положительно определенными матрицами.
положительны, то 
является положительно определенной матрицей.
, где Ф — любая ортонормированпая матрица. В частности, пусть Ф является матрицей собственных векторов матрицы 
. В таком случае
— собственные значения матрицы 
Если все эти собственные значения являются положительными числами, то квадратичная форма 
будет принимать положительные значения, если только У не является нулевым вектором. Но из соотношения между векторами У и X следует, что квадратичная форма 
должна быть положительной также и для всех ненулевых векторов X. Поэтому 
— положительно определенная матрица.
— диагональная матрица, полученная из ковариационной или автокорреляционной матрицы в результате соответствующего ортонормированного преобразования. Тогда собственные значения 
являются дисперсиями, или вторыми моментами выборки. Поэтому все Я должны быть положительными числами, а ковариационная и автокорреляционная матрицы — положительно определенными матрицами.
