8.3.2. Стационарный процесс.

Во многих случаях на случайные процессы накладывается условие стационарности. Случайный процесс называют стационарным в узком смысле, если для

любого случайные величины имеют одинаковые статистики. Однако, так как это условие слишком жесткое, введем более слабое условие, которое может выполняться для более широкого класса случайных процессов. Случайный процесс называют стационарным в широком смысле, если выполняются следующие два условия:

Если не оговорено противное, мы всюду далее будем использовать термин «стационарный» для обозначения стационарности в широком смысле. Кроме того, будем по-прежнему считать, что Так как мы здесь рассматриваем лишь весьма частную проблему, читателю, желающему глубже ознакомиться со случайными процессами, следует обратиться к общим курсам но теории случайных процессов.

Для стационарных процессов интегральное уравнение (8.56) принимает вид

где временной иптервал [0, Г] заменен на Пусть . Тогда уравнение (8.69) принимает вид

Так как интеграл (8.70) является интегралом свертки от преобразование Фурье этого уравнения имеет вид

где — преобразования Фурье В частности, -преобразование Фурье корреляционной функции случайного процесса — известно как спектральная функция случайного процесса Для того чтобы было выполнено условие (8.71), должна иметь вид

Этому соответствует во временной области

Тогда (8.71) принимает вид

Следовательно, если случайный процесс стационарен, то на

бесконечном временное интервале собственные функции являются комплексными синусоидами, а собственные значения — значениями спектральной функции.

Если временной интервал ограничен значениями приведенный выше результат перестает быть верным, однако его можно рассматривать как приближенно справедливый при достаточно больших Г. Когда Г конечно, нижняя частота определяется следующим образом:

Собственные значения и собственные функции будут равны соответственно

Полагая в качестве собственных функций для случая конечного Т и выражая с помощью обратного преобразования Фурье

приведем уравнение (8.69) к виду

Функцию в фигурных скобках называют выборочной функцией с ограниченным размахом.

Рис. 8.3. Спектральная функция и выборочная функция

Она показана на рис. 8.3 вместе со спектральной функцией. Предполагая, что не сильно изменяется между соседними выборочными точками

интеграл (8.78) можпо аппроксимировать выражением

Поэтому с точностью до разности между (8.78) и (8.79) можно считать