§ 5.1. Оценивание неслучайных параметров

До того как обсудить различные оценки, введем терминологию оценивания неслучайного параметра, часто встречающуюся в литературе.

5.1.1. Терминология.

Пусть — соответственно истинный вектор параметров и его оценка. Значение является функцией от наблюдаемых n-мерных случайных векторов извлекаемых из оцениваемого распределения. Следовательно, оценка является случайным вектором. Если не оговорено особо, то предполагают, что векторы независимы и одинаково распределены. Таким образом,

где — вектор с компонентами

который вводится для упрощения выкладок. Так как наблюдаемые объекты являются случайными векторами, то — также случайный вектор, который обозначают или через , или через

1. Несмещенная оценка. Если

то является несмещенной оценкой параметра в противном случае оценку (5.3) называют смещенной оценкой.

2. Состоятельная оценка. Если оценка (5.1) сходится но вероятности к параметру т. е.

то называют состоятельной оценкой параметра

3. Эффективная оценка. Когда сравнивают две оценки параметра основанные на одной и той же выборке, эффективность второй оценки относительно первой оценки определяют

выражением

Когда оценка такая, что всегда для всех возможных оценок то называют эффективной оценкой.

4. Достаточная оценка. Оценку параметра называют достаточной, если она содержит всю информацию о 0, содержащуюся в наблюдаемых объектах. Другими словами, — достаточная оценка тогда и только тогда, когда для любых других оценок (для которых якобиан соответствующего преобразования не равен нулю) условная плотность вероятности оценок при фиксированной оценке не зависит от параметра

Таким образом, наилучшая оценка из тех, которые можно найти, должна быть несмещенной, состоятельной, эффективной и достаточной.