3.1.4. Минимаксный критерий.

Как уже отмечалось, байесовский критерий, минимизирующий риск, основан на вычислении отношения правдоподобия и сравнении его величины с пороговым значением, которое является функцией априорные вероятностей Поэтому, если априорные вероятности не изменяются, то решающее правило всегда обеспечивает минимальный риск. Однако, если априорные вероятности изменились, то зафиксированная величина порога уже не обеспечивает достижимого минимума риска.

Рис. 3.2. Границы Неймана — Пирсона.

Таблица 3.1 Соотношение между

Минимаксный критерий используют для нахождения такой величины порога, при которой минимизируется максимум возможного риска, даже если априорные вероятности изменяются.

Сначала выразим риск определенный выражением (3.14), через Так как то однозначно определяется через Используем выражение получим

Уравнение (3.27) показывает, что если области определены, то риск является линейной функцией относительно вероятности На рис. 3.3, а кривая линия изображает байесовский риск в зависимости от априорной вероятности при условии, что области выбраны для каждого значения вероятности

Рис. 3.3. Байесовский риск в зависимости от априорной вероятности

Если области зафиксированы, то в этом случае решение будет оптимальным только для одного значения вероятности которое на том же рисунке обозначено через Для этого случая на рис. 3.3, а изображена зависимость риска от вероятности в виде прямой линии. Эта линия касается кривой байесовского риска в точке Если же выбрать области и так, чтобы в формуле (3.27) коэффициент при был равен нулю, то прямая линия будет касаться кривой байесовского риска в точке, где риск максимален. Эта ситуация изображена на рис. 3.3, б. Такой выбор областей и гарантирует нам, что даже при фиксированной величине порога независимо от изменения вероятности максимальный байесовский риск будет минимальным.

Таким образом, согласно минимаксному критерию, решающая граница должна удовлетворять условию

В случае функций штрафа частного вида

выражение (3.28) примет вид

Другими словами, в данном случае решающая граница выбирается так, чтобы обеспечить равенство вероятностей ошибки? первого и второго типа.

Рис. 3.4. Апрнорпая вероятность или для минимаксного критерия.

Если решающей границы, удовлетворяющей уравнению не существует, максимальный риск соответствует вероятности или Поэтому при этих вероятностях можно определить байесовские границы и выбрать из них при которой имеет место больший риск. Это обеспечивает минимизацию максимального байесовского риска. Примеры, иллюстрирующие этот случай приведены на рис. 3.4, а и б.