3.3.2. Выражения для верхних границ в случае нормальных распределений.
В случае нормальных распределений можно получить явное математическое выражение для 
. В соответствии с выражениями (3.90) и (2.90) производящая функция 
может быть записана в системе координат с некоррелированными компонентами следующим образом:
(см. скан)
В исходной системе кссрдииат
Из выражения (3.80) следует, что 
или в системе координат с некоррелированными компонентами
К сожалению, нелегко получить оптимальнее значение путем решения уравнения (3.101). Как видно из формулы (3.106) производная 
является очень сложней функцией относительно 
Если не стремиться отыскать оптимальное значение 
то можно получить менее сложнее выражение для верхних границ вероятностей ошибки 
так как для любых 
выполняются ограничения (3.88), (3.96) и (3.100).
Одно из возможных значений 
равно 
Тогда выражение 
для нормального распределения примет вид
а из выражений (3.88), (3.96) и (3.100) следует, что вероятности ошибки 
ограничены следующими величинами:
Выражение для 
называют расстоянием Бхатачария и используют в качестве эффективного критерия разделимости двух распределений [Бхатачария, 1943].
Если ковариационные матрицы одинаковы, т. е. 
то выражение (3.104) принимает вид
Следовательно, оптимальное значение 
можно получить из решения уравнения
В случае, если априорные вероятности равны, т. е. 
то 
и оптимальное значение 
равпо 0,5.
Пример 3.4. Используем данные, приведенные в табл. 3.2. Так как априорные вероятности равны, т. е. 
то значение порога 
.
Таблица 3.4. Вероятности ошибки и их верхние границы
В табл. 3.4 дается сравнение верхних границ вероятностей ошибки 
при 
— оптимальное значение 
с точными значениями вероятностей ошибки, а также с их значениями, полученными.
аппроксимацией решающего правила пормальпым распределением. Данный пример показывает, что верхние границы вероятности ошибки лучше, чем их оценки, полученные при аппроксимации решающего правила нормальным распределением.
Рис. 3.7. Граница вероятности ошибки 
Использование величины 
обосновано тем, что верхние границы нечувствительны к значению 
Кривая 
в зависимости от 
приведена на рис. 3.7.
