§ 2.3. Преобразование случайных векторов

2.3.1. Якобиан.

Пусть случайный вектор является функцией другого случайного вектора X:

Кроме того, предположим, что существует взаимно однозначное соответствие между случайными векторами X и Тогда плотности распределения вероятностей этих случайных векторов связаны соотношением

где - абсолютное значение якобиана

Якобиан (2.76) необходимо преобразовать, так как область в системе координат соответствует области в системе координат X.

Пример 2.9. Физический смысл якобиана можно легко понять, рассмотрев двумерный случай (рис. 2.3).

Выбираем прямоугольную область в исходной системе координат X.

Рис. 2.3. Двумерный якобиан.

Тогда можно найтн соответствующую область в системе координат У, пользуясь следующими формулами:

Площадь можно вычислить из простых геометрических соображений

Так как вероятности соответствующих площадей должны быть одинаковыми в обеих системах координат, то

или

Таким образом, якобиан — это коэффициент, определяющий изменение масштаба в результате данного преобразования координат.