§ 2.2. Свойства распределений

2.2.1. Характеристические функции.

Определение. Характеристическая функция случайной величины х определяется выражением

Из формулы (2.44) следует, что с точностью до знака величины о функция представляет собой преобразование Фурье от плотности вероятности Таким образом, использование характеристической функции при изучении распределений соответствует частотному анализу временных функций. Обратное преобразование Фурье (и в этом случае— с точностью до знака величины о) превращает характеристическую функцию в плотность вероятности следующим образом:

Определение. Характеристическая функция случайного векто определяется выражением

где

Таким образом, (2.46) соответствует -мерному преобразованию Фурье.

Характеристическая функция представляет собой очень удобное средство для некоторых приложений. Рассмотрим примеры.

Пример 2.6. Предположим, что все х, взаимно независимы. Необходимо получить плотность вероятности величины

Характеристическую функцию величины у можно вычислить следующим образом:

В данном случае характеристическая функция представляет собой произведение характеристических функций отдельных слагаемых Так как функция является одномерным преобразованием Фурье, то она, как правило, может быть вычислена. После того как с помощью (2.49) вычислена характеристическая функция обратным преобразованием Фурье (2.45) можно определить искомую плотность вероятности.

Пример 2.7. Рассмотрим частный случай примера 2.6, когда у определяется выражением

Тогда из (2.49) следует, что

Если вспомнить, что с точностью до знака (о является преобразованием Фурье от плотности вероятности то произведение соответствует взятию операции свертки от плотностей вероятности

Пример 2.8. После того как с помощью (2.46) найдена характеристическая функция, моменты плотности вероятности

можно вычислить следующим образом: